PRÁCTICA MACHINE LEARNING I
Amanda Del Álamo Caballero y Alejandro Delgado Peribáñez
23/3/2022
library(dplyr)
library(caret)
library(ggplot2)
library(lattice)
library(class)
library(corrplot)
library(pROC)
library(caret)
library(lattice)
library(foreach)
library(iterators)
library(parallel)
library(doMC)
library(e1071)
library(ranger)
library(rpart)
library(rpart.plot)
library(NbClust)
library(psych)
library(factoextra)
library(ade4)
library(cluster)
library(lift)
library(dplyr)
library(readr)
library(mice)
library(stringr)
library(ggplot2)
library(tidyverse)
library(gamlss)
library(MASS)
library(doMC)
library(iterators)
library(gam)
library(stats)
library(splines)
library(foreach)
library(gamlss.data)
library(gamlss.dist)
library(NB)
library(gridExtra)
library(gmodels)
library(Hmisc)
library(ggthemes)
library(ellipse)
library(ggcorrplot)
library(corrplot)
library(leaps)
library(PerformanceAnalytics)
library(GGally)
library(psych)
library(carData)
library(car)
library(lmtest)
library(olsrr)
library(performance)
library(mice)
library(see)
library(lme4)
library(patchwork)Introducción
En esta sección se comenzarán a aplicar los algoritmos de aprendizaje automático (o machine learning) vistos en clase. Utilizaremos los siguientes algoritmos que podemos clasificar en:
Algoritmos no supervisados: Parten de un conjunto de datos sin etiquetar y aplican inducción partiendo de ejemplos para predecir en nuevos datos.
- Análisis de componentes principales (reducción de la dimensionalidad)
- k-medias. Análisis cluster no jerárquico o de conglomerados (clustering)
- Análisis cluster jerárquico o de conglomerados (clustering)
Algoritmos supervisados: Utilizan un conjunto de datos etiquetados y con ellas intentan encontrar relaciones entre las características y las etiquetas para predecir en nuevos datos.
- Regresión logística
- Los k-vecinos más cercanos (k-NN: The k-nearest neighbours) (Basado en la información)
- Árboles de decisión (Basado en la información)
- Bosques aleatorios (Basado en la información)
- Máquinas de vectores de soporte (SVM: Support Vector Machines) (Basado en el error)
Se carga, limpia, visualiza y secciona el conjunto de datos:
data <- read.csv("train-ML.csv", na = c("","NA","NULL",NULL," ","/n" ))
head(data)dataTest <- read.csv("test-ML.csv", na = c("","NA","NULL",NULL," ","/n" ))
head(dataTest)library(dplyr)
data %>% dplyr::select(-Price.mod2) -> data
data %>% dplyr::select(-X) -> data
head(data)data %>%
mutate(Fuel_Type = as.factor(Fuel_Type)) %>%
mutate(Transmission = as.factor(Transmission)) %>%
mutate(Location = as.factor(Location)) -> data
data %>% mutate(Owner_Type = factor(Owner_Type, levels=c("First", "Second", "Third", "Fourth & Above"))) -> data
dataTest %>%
mutate(Fuel_Type = as.factor(Fuel_Type)) %>%
mutate(Transmission = as.factor(Transmission)) %>%
mutate(Location = as.factor(Location)) -> dataTest
dataTest %>%
mutate(Name = as.factor(Name)) %>%
mutate(Make = as.factor(Make)) %>%
mutate(Seats = as.factor(Seats))%>%
mutate(Gama = as.factor(Gama))-> dataTest
data %>%
mutate(Name = as.factor(Name)) %>%
mutate(Make = as.factor(Make)) %>%
mutate(Seats = as.factor(Seats))-> data
dataTest %>% mutate(Owner_Type = factor(Owner_Type, levels=c("First", "Second", "Third", "Fourth & Above"))) -> dataTestAnálisis no supervisado
En primer lugar, comenzaremos viendo los algoritmos de aprendizaje no supervisado.
Análisis de componentes principales
El análisis de componentes principales (en inglés, PCA) es una técnica utilizada para describir un conjunto de datos en términos de nuevas variables denominadas componentes no correlacionadas. Estas nuevas componentes se construyen a partir de las variables existentes, eso sí, debemos asegurarnos de que las variables utilizadas en PCA sean variables cuantitativas (no podemos usar variables cualitativas ni categóricas). Con esta técnica se pretende reducir la dimensionalidad del problema en cuestión.
str(data)## 'data.frame': 4711 obs. of 15 variables:
## $ Name : Factor w/ 1636 levels "Ambassador Classic Nova Diesel",..: 37 72 501 1103 443 221 1073 1248 290 121 ...
## $ Location : Factor w/ 11 levels "Ahmedabad","Bangalore",..: 10 10 3 8 11 5 10 4 10 3 ...
## $ Year : int 2015 2014 2016 2009 2005 2016 2016 2017 2011 2012 ...
## $ Kilometers_Driven: int 48000 18600 18000 80464 123200 46727 17000 30090 32000 115000 ...
## $ Fuel_Type : Factor w/ 4 levels "CNG","Diesel",..: 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 ...
## $ Transmission : Factor w/ 2 levels "Automatic","Manual": 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ...
## $ Owner_Type : Factor w/ 4 levels "First","Second",..: 1 2 1 2 2 1 1 1 2 3 ...
## $ Engine : int 1968 1995 1197 2987 1495 1498 1595 1461 1196 1995 ...
## $ Power : num 174 190 82 198 94 ...
## $ Seats : Factor w/ 8 levels "2","4","5","6",..: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...
## $ Price : num 18.25 21 5.4 9.29 1 ...
## $ Make : Factor w/ 28 levels "Ambassador","Audi",..: 2 4 11 18 11 9 18 23 9 4 ...
## $ Gama : chr "Gama alta" "Gama alta" "Gama media" "Gama alta" ...
## $ kmpl : num 15.7 22.7 18.9 11 13.2 ...
## $ kmpkg : num 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...datacorrplot(cor(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)]), method = "ellipse") 
corPlot(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)], cex = 1.2, main = "Matriz de correlación")
corrplot(cor(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)]),method = "circle", order = "hclust", hclust.method = "ward.D",
addrect =2,rect.col = 3,rect.lwd = 3) 
cortest(cor(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)]))## Tests of correlation matrices
## Call:cortest(R1 = cor(data[, c(3, 4, 8, 9, 14, 15)]))
## Chi Square value 250.68 with df = 15 with probability < 9e-45Tenemos evidencias para decir que las correlaciones son distintas de 0.
pca1 <- prcomp(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)])plot(pca1)
summary(pca1)## Importance of components:
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6
## Standard deviation 101058 600.56073 27.03 4.409 3.046 1.968
## Proportion of Variance 1 0.00004 0.00 0.000 0.000 0.000
## Cumulative Proportion 1 1.00000 1.00 1.000 1.000 1.000En nuestro conjunto de datos inicial, todas nuestras variables eran cuantitativas (menos la variable respuesta, que no utilizamos en aprendizaje no supervisado), sin embargo, las variables categorizadas que hemos creado no lo son. Así que haremos el análisis de componentes principales escalando las variables: Kilometers_Driven, Power, kmpl y kmpg.
pca2 <- prcomp(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)], scale=T)
pca2## Standard deviations (1, .., p=6):
## [1] 1.5099667 1.1444561 1.0599891 0.9273837 0.5500460 0.3522111
##
## Rotation (n x k) = (6 x 6):
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5
## Year -0.13713864 -0.3782024 0.596223411 0.63439205 0.28287926
## Kilometers_Driven 0.10115280 0.1465697 -0.668955170 0.71929106 0.04377908
## Engine 0.61114224 -0.2395341 0.007784461 0.01713324 -0.11602069
## Power 0.58101040 -0.3074207 0.085329519 0.04975366 -0.38891068
## kmpl -0.50571711 -0.4201464 -0.135355634 0.08348424 -0.71719694
## kmpkg 0.06436916 0.7120907 0.413948973 0.26538370 -0.48885474
## PC6
## Year -0.01412815
## Kilometers_Driven 0.03857703
## Engine -0.74519368
## Power 0.63789605
## kmpl -0.16752599
## kmpkg -0.08956703Aquí arriba, podemos ver los diferentes pesos que otorga el análisis de componentes principales a cada una de las variables iniciales escaladas. Por ejemplo: en la primera componente principal (PC1), vemos que sobre todo se enfrentan las variables Engine y Power contra kmpl; en la segunda componente principal (PC2), vemos que se enfrenta la variable kmpg contra kmpl, Power,Year y Engine; en la tercera componente principal (PC3) se enfrentan los kilómetros que lleva recorridos el coche contra el año de fabricación y la variable kmpkg.
summary(pca2)## Importance of components:
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6
## Standard deviation 1.51 1.1445 1.0600 0.9274 0.55005 0.35221
## Proportion of Variance 0.38 0.2183 0.1873 0.1433 0.05043 0.02068
## Cumulative Proportion 0.38 0.5983 0.7856 0.9289 0.97932 1.00000La inercia de las primeras dimensiones muestra si existen relaciones fuertes entre las variables y sugiere el número de dimensiones que se deben estudiar.
Las dos primeras dimensiones de análisis expresan el 59,83% de la inercia total del conjunto de datos; eso quiere decir que el 59.83% de los individuos (o variables) nublan la variabilidad total que es explicada por el plano. Este porcentaje es relativamente alto y, por lo tanto, el primer plano representa bien la variabilidad de los datos. Este valor es muy superior al valor de referencia que equivale al 34,95%, por lo que la variabilidad explicada por este plano es muy significativa (el valor de referencia es el cuantil 0,95 de la distribución de porcentajes de inercia obtenida simulando 1689 tablas de datos de tamaño equivalente sobre la base de una distribución normal).
A partir de estas observaciones, conviene interpretar también las dimensiones mayores o iguales a la tercera.
Sin embargo, aquí resulta difícil ver algo claro e intuitivo, así que haremos un pequeño resumen y un gráfico multivariante para mostrar la información más relevante del PCA. Se estudia el plano 1:2.
PC1= pca2[[2]][,1]
PC2= pca2[[2]][,2]
PC3= pca2[[2]][,3]
PC4= pca2[[2]][,4]
componentes_princ <- cbind(PC1,PC2,PC3,PC4)
componentes_princ## PC1 PC2 PC3 PC4
## Year -0.13713864 -0.3782024 0.596223411 0.63439205
## Kilometers_Driven 0.10115280 0.1465697 -0.668955170 0.71929106
## Engine 0.61114224 -0.2395341 0.007784461 0.01713324
## Power 0.58101040 -0.3074207 0.085329519 0.04975366
## kmpl -0.50571711 -0.4201464 -0.135355634 0.08348424
## kmpkg 0.06436916 0.7120907 0.413948973 0.26538370plot(pca2)
biplot(pca2)
s.corcircle(componentes_princ[,-3], sub="PC1 Y PC2")
En el gráfico enfrentamos la primera y la segunda componente principal, y vemos como influyen cada una de las variables en los coches. Por ejemplo, el coche 1712, debe tener unos valores muy altos de Power y Engine que son las variables que “más tiran hacia la derecha”, y el coche 745, según el biplot debe tener un valor muy alto de kilometers_driven, que es la variable que “más tira en esa dirección”. Si recordamos lo analizado previamente, en la sección del análisis exploratorio de datos, este coche ya destacó por tener valores un tanto diferentes a los del resto por su desmesurado valor de kilómetros recorridos. Comprobamos que la información que nos proporciona el gráfico es totalmente coherente con lo que obtuvimos en el EDA.
La dimensión 1 opone individuos caracterizados por una coordenada fuertemente positiva en el eje (a la derecha del gráfico) a individuos caracterizados por una coordenada fuertemente negativa en el eje (a la izquierda del gráfico).
El grupo 1 (caracterizado por una coordenada positiva en el eje) comparte:
- valores altos para la variable kmpkg.
- valores bajos para las variables kmpl, Potencia y Motor (las variables se ordenan de la más débil).
El grupo 2 (caracterizado por una coordenada positiva en el eje) comparte:
- valores altos para las variables Motor, Potencia y Kilómetros_Recorridos (las variables se ordenan de la más fuerte).
- valores bajos para las variables kmpl, Year y kmpkg (las variables se ordenan de la más débil).
El grupo 3 (caracterizado por una coordenada negativa en el eje) comparte:
- valores altos para las variables kmpl y Año (las variables se ordenan de la más fuerte).
- valores bajos para las variables Motor, Potencia, Kilómetros_Conducidos y kmpkg (las variables se ordenan de menor a mayor).
La dimensión 2 opone individuos caracterizados por una coordenada fuertemente positiva en el eje (en la parte superior del gráfico) a individuos caracterizados por una coordenada fuertemente negativa en el eje (en la parte inferior del gráfico).
El grupo 1 (caracterizado por una coordenada positiva en el eje) comparte:
- valores altos para las variables kmpl y Año (las variables se ordenan de la más fuerte).
- valores bajos para las variables Motor, Potencia, Kilómetros_Conducidos y kmpkg (las variables se ordenan de menor a mayor).
El grupo 2 (caracterizado por una coordenada positiva en el eje) comparte:
- valores altos para las variables Motor, Potencia y Kilómetros_Recorridos (las variables se ordenan de la más fuerte).
- valores bajos para las variables kmpl, Year y kmpkg (las variables se ordenan de la más débil).
El grupo 3 (caracterizado por una coordenada negativa en el eje) comparte:
- valores altos para la variable kmpkg.
- valores bajos para las variables kmpl, Potencia y Motor (las variables se ordenan de la más débil).
fviz_pca_var(pca2,axes = c(1,2), col.var = "cos2", alpha.var = "contrib" ) + theme_grey()
fviz_pca_var(pca2,axes = c(1,3), col.var = "cos2", alpha.var = "contrib" ) + theme_grey()
La suma de cos2 de una variable determinada sobre cada factor es 1. Esto significa que cada vector debería estar tocando el perímetro de la circunferencia unidad, pero no lo está haciendo ninguna prácticamente, ¿por qué?. Si observamos por ejemplo la variable Engine(al igual que Power), vemos que está muy cerca de tocar dicho perímetro, su proyección sobre las dimensiones 1 y 2 (componentes) indica su contribución a éstas, pero aún le falta algo de contribución que debe estar repartida por otra u otras dimensiones. Si está variable solo tuviese peso sobre las dos primeras dimensiones estaría tocando la circunferencia.
Podemos colorear las observaciones según alguna variable. Además podemos hacer que las variables que más contribuyen en este plano factorial, se resalten más que las que menos influencia tienen. También tenemos la posibilidad de dibujar elipses alrededor de cada grupo con un cierto nivel de confianza.
Como se aprecia en los gráficos anteriores, no tiene mucho sentido representar la segunda componente principal ya que no realiza un correcto enfrentamiento de variables y no nos aporta nada.
summary(pca2)## Importance of components:
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6
## Standard deviation 1.51 1.1445 1.0600 0.9274 0.55005 0.35221
## Proportion of Variance 0.38 0.2183 0.1873 0.1433 0.05043 0.02068
## Cumulative Proportion 0.38 0.5983 0.7856 0.9289 0.97932 1.00000Por otro lado, podemos decir que lo que más nos interesa de este resumen es la proporción de la varianza total que consigue explicar cada componente principal. Según el resumen que acabamos de mostrar arriba, vemos que la varianza total explicada no aumenta mucho a partir de la tercera o cuarta componente principal (y que con todas las componentes principales, evidentemente, la varianza explicada es el 100%). Para visualizar esto haremos un gráfico de barras:
screeplot(pca2, xlab="PCs")
Una estimación del número correcto de ejes a interpretar sugiere restringir el análisis a la descripción de los 3 primeros ejes. Estos ejes presentan una inercia superior a las obtenidas por el cuantil 0,95 de las distribuciones aleatorias (78,56% frente a 51,79%). Esta observación sugiere que solo estos ejes llevan una información real. En consecuencia, la descripción se situará en estos ejes.
scree(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)],main ="Grafico_de_Sedimentacion")
El grafico de sedimentación nos muestra la cantidad óptima de componentes a tomar en el análisis, siendo los valores por encima de la linea de 1.0 los más aceptables.
fa.parallel(data[, c(3,4, 8, 9, 14, 15)],fa="pc")
## Parallel analysis suggests that the number of factors = NA and the number of components = 3Según los resultados del análisis paralelo, el número de componentes deberá ser 3.
Se comprueba que con PCA no se consigue lo que se busca, ni PC2 ni PC3 nos sirven para realizar una correcta redimensión de los datos. Nos damos cuenta de que nuestro problema es bastante difícil de resolver, dado que es complicado ver algún tipo de separación o tendencia de los coches en función de las variables explicativas o incluso en cuanto al precio. Aún así, si nos fijamos, en los gráficos que enfrentan PC1 con PC2, PC1 con PC3 y PC2 con PC3, parece que los coches de gama media y gama alta están más dispersos que los de gama baja.
k-medias. Análisis cluster no jerárquico o de conglomerados (clustering)
El análisis cluster busca agrupar individuos u observaciones tratando de lograr la máxima homogeneidad en cada grupo o cluster y la mayor diferencia entre los grupos. Es decir, el clustering asigna individuos similares al mismo grupo, y observaciones muy distintas estarán en grupos diferentes. Nosotros usaremos el algoritmo de las k-medias que tiene como objetivo encontrar y agrupar en clases a las observaciones que tienen una alta similitud entre ellos. Esta similitud se define como la menor distancia entre características de cada observación. Cuanto más cerca estén los puntos de datos, más similares serán y más probabilidad habrá de que pertenezcan al mismo cluster. Para ello, primero debemos escoger una distancia y dado que nuestra variable respuesta está bastante bien balanceada, usaremos la distancia euclídea. Esta es la distancia que muchos métodos de R utilizan por defecto, pero debemos asegurarnos de que los datos que introducimos en el algoritmo están escalados (para que no tengan mayor importancia las variables con números más grandes en valor absoluto, por el mero de hecho de que puedan estar medidas en diferentes unidades, por ejemplo). Así y para trabajar sobre una variable respuesta binaria, transformamos la variable Gama.
data <- data[,-13]
data %>%
mutate(
Gama = case_when(
data$Make=="Datsun" |data$Make=="Smart" |data$Make=="Tata" |data$Make=="Fiat" |data$Make=="Chevrolet" |data$Make=="Ambassador" |
data$Make=="Skoda"|data$Make=="Renault" |data$Make=="Ford" |data$Make=="Honda"|data$Make=="Volkswagen" |data$Make=="Hyundai" |data$Make=="Nissan" |data$Make=="Maruti" ~ "Baja-media",
data$Make=="Bentley"|data$Make=="Porsche" |data$Make=="Land Rover" |data$Make=="Jaguar" |data$Make=="Mini" |data$Make=="Mercedes-Benz" |data$Make=="Audi" |data$Make=="Bmw" |data$Make=="Jeep" |data$Make=="Volvo" |data$Make=="Isuzu" |data$Make=="Mitsubishi" |data$Make=="Toyota" |data$Make=="Force" |data$Make=="Mahindra"~ "Alta"
)
) -> data
data$Gama <- as.factor(data$Gama)
#dataTest %>% dplyr::select(-Mileage) -> dataTest
dataTest %>% dplyr::select(-X) -> dataTest
head(dataTest)dataTest%>%drop_na() -> dataTest
dataTest %>%
mutate(kmpl = ifelse(Fuel_Type=="Diesel" | Fuel_Type=="Petrol", Mileage, 0)) %>%
mutate(kmpkg = ifelse(Fuel_Type=="CNG" | Fuel_Type=="LPG", Mileage, 0)) %>%
dplyr::select(-Mileage) -> dataTest
dataTest %>%
mutate(
Gama = case_when(
dataTest$Make=="Datsun" |dataTest$Make=="Smart" |dataTest$Make=="Tata" |dataTest$Make=="Fiat" |dataTest$Make=="Chevrolet" |dataTest$Make=="Ambassador" |
dataTest$Make=="Skoda"|dataTest$Make=="Renault" |dataTest$Make=="Ford" |dataTest$Make=="Honda"|dataTest$Make=="Volkswagen" |dataTest$Make=="Hyundai" |dataTest$Make=="Nissan" |dataTest$Make=="Maruti" ~ "Baja-media",
dataTest$Make=="Bentley"|dataTest$Make=="Porsche" |dataTest$Make=="Land Rover" |dataTest$Make=="Jaguar" |dataTest$Make=="Mini" |dataTest$Make=="Mercedes-Benz" |dataTest$Make=="Audi" |dataTest$Make=="Bmw" |dataTest$Make=="Jeep" |dataTest$Make=="Volvo" |dataTest$Make=="Isuzu" |dataTest$Make=="Mitsubishi" |dataTest$Make=="Toyota" |dataTest$Make=="Force" |dataTest$Make=="Mahindra"~ "Alta"
)
) -> dataTestTrainEscalado <- data %>% dplyr::select(Year, Kilometers_Driven, Engine, Power, Price, kmpl) %>% scale() %>% as.data.frame()Como mínimo haremos dos grupos, es decir, buscaremos hacer 2 o más grupos, porque hacer un único cluster no tiene ningún sentido, ya que buscamos separar los coches en una característica que toma dos valores: gama baja-media y gama alta.
Para decidir el número óptimo de grupos que debemos crear, podemos usar la función NbClust de R, que nos devuelve cuál es (según unos criterios) el mejor número de clusters para el algoritmo de k-medias o bien, podemos ir probando con diferentes valores y decidir nosotros en función de la información que recabemos.
Primero usaremos la función, teniendo en cuenta que como máximo aceptaremos tener 10 grupos y como mínimo 2:
set.seed(220322)
nc = NbClust(TrainEscalado,min.nc=2,max.nc=10,method = "kmeans")
## *** : The Hubert index is a graphical method of determining the number of clusters.
## In the plot of Hubert index, we seek a significant knee that corresponds to a
## significant increase of the value of the measure i.e the significant peak in Hubert
## index second differences plot.
## 
## *** : The D index is a graphical method of determining the number of clusters.
## In the plot of D index, we seek a significant knee (the significant peak in Dindex
## second differences plot) that corresponds to a significant increase of the value of
## the measure.
##
## *******************************************************************
## * Among all indices:
## * 8 proposed 2 as the best number of clusters
## * 3 proposed 3 as the best number of clusters
## * 2 proposed 8 as the best number of clusters
## * 11 proposed 9 as the best number of clusters
##
## ***** Conclusion *****
##
## * According to the majority rule, the best number of clusters is 9
##
##
## *******************************************************************nc## $All.index
## KL CH Hartigan CCC Scott Marriot TrCovW
## 2 3.7372 2231.534 938.0726 -7.7989 5734.242 6.840925e+20 12493090
## 3 1.4122 1806.690 654.6000 -13.6059 9122.307 7.498264e+20 8370406
## 4 2.5713 1589.790 295.5897 -16.5777 13311.058 5.478838e+20 7359205
## 5 0.4411 1340.832 451.3764 -24.2826 15058.326 5.907891e+20 6585463
## 6 31.6152 1265.556 252.9865 -20.4498 16951.813 5.691667e+20 5176556
## 7 0.0315 1153.257 373.6215 -21.5790 18661.448 5.389226e+20 5009361
## 8 0.0906 1120.156 2916.5901 -17.5170 21486.427 3.864409e+20 4580569
## 9 93.9316 1952.131 139.3206 49.7614 32381.793 4.841428e+19 1449588
## 10 0.7282 1801.739 191.4079 46.5489 33128.923 5.100497e+19 1414613
## TraceW Friedman Rubin Cindex DB Silhouette Duda Pseudot2 Beale
## 2 19173.790 8.5627 1.4739 0.0321 1.4470 0.4073 1.4789 -1208.2390 -1.2455
## 3 15988.705 9.7096 1.7675 0.0276 1.6252 0.3259 3.1466 -2281.9631 -2.6236
## 4 14037.001 13.5177 2.0133 0.0255 1.5512 0.3112 0.9610 100.4054 0.1562
## 5 13207.592 14.5017 2.1397 0.0249 1.6094 0.2273 1.6048 -815.8979 -1.4488
## 6 12051.656 15.4810 2.3449 0.0227 1.6606 0.2457 5.9409 -1353.1340 -3.1972
## 7 11436.708 17.0108 2.4710 0.0218 1.6345 0.2414 1.3219 -324.8093 -0.9358
## 8 10595.172 19.2072 2.6673 0.0210 1.5048 0.2557 2.3430 -772.6783 -2.1987
## 9 6539.603 29.1104 4.3214 0.0918 1.0827 0.2592 4.0564 -1253.0320 -2.8901
## 10 6351.410 29.9539 4.4494 0.0913 1.1398 0.2464 0.7969 190.8494 0.9793
## Ratkowsky Ball Ptbiserial Frey McClain Dunn Hubert SDindex Dindex
## 2 0.3323 9586.8949 0.4224 1.2264 0.4052 0.0012 1e-04 7.2473 1.5510
## 3 0.3600 5329.5683 0.4000 0.4116 0.8271 0.0016 1e-04 6.4723 1.3943
## 4 0.3326 3509.2502 0.4068 6.3164 0.9695 0.0007 1e-04 6.5693 1.2853
## 5 0.3074 2641.5184 0.3209 0.1855 1.7394 0.0011 1e-04 6.3678 1.2076
## 6 0.2932 2008.6094 0.3262 0.6156 1.9272 0.0003 1e-04 6.9963 1.1306
## 7 0.2772 1633.8154 0.3134 -0.0940 2.2187 0.0008 1e-04 6.6163 1.0874
## 8 0.2657 1324.3965 0.3223 -0.2051 2.1732 0.0008 1e-04 5.8757 1.0428
## 9 0.2920 726.6226 0.3274 4.3783 2.1327 0.0030 1e-04 6.6319 1.0283
## 10 0.2782 635.1410 0.3096 9.4740 2.4212 0.0030 1e-04 8.2962 1.0060
## SDbw
## 2 1.3879
## 3 1.3910
## 4 1.1600
## 5 0.9978
## 6 1.0421
## 7 1.0252
## 8 0.8578
## 9 0.4463
## 10 0.7642
##
## $All.CriticalValues
## CritValue_Duda CritValue_PseudoT2 Fvalue_Beale
## 2 0.8638 588.2681 1.0000
## 3 0.8590 549.0712 1.0000
## 4 0.8575 410.6496 0.9879
## 5 0.8469 391.3096 1.0000
## 6 0.8456 297.1056 1.0000
## 7 0.8384 257.0461 1.0000
## 8 0.7997 337.5479 1.0000
## 9 0.7996 416.7944 1.0000
## 10 0.8391 143.6584 0.4373
##
## $Best.nc
## KL CH Hartigan CCC Scott Marriot TrCovW
## Number_clusters 9.0000 2.000 9.000 9.0000 9.00 9.000000e+00 3
## Value_Index 93.9316 2231.534 2777.269 49.7614 10895.37 3.406173e+20 4122684
## TraceW Friedman Rubin Cindex DB Silhouette Duda
## Number_clusters 9.000 9.0000 9.0000 8.000 9.0000 2.0000 2.0000
## Value_Index 3867.376 9.9032 -1.5261 0.021 1.0827 0.4073 1.4789
## PseudoT2 Beale Ratkowsky Ball PtBiserial Frey McClain
## Number_clusters 2.000 2.0000 3.00 3.000 2.0000 2.0000 2.0000
## Value_Index -1208.239 -1.2455 0.36 4257.327 0.4224 1.2264 0.4052
## Dunn Hubert SDindex Dindex SDbw
## Number_clusters 9.000 0 8.0000 0 9.0000
## Value_Index 0.003 0 5.8757 0 0.4463
##
## $Best.partition
## [1] 4 4 9 7 1 5 9 9 6 7 4 9 1 5 7 9 6 6 4 1 7 6 5 9 7 1 9 5 1 9 9 1 9 9 9 2 5
## [38] 4 7 7 9 4 6 2 1 7 2 6 6 6 4 4 9 6 4 5 6 9 7 4 1 1 9 7 9 7 5 4 5 7 7 9 5 4
## [75] 6 7 5 6 4 6 6 6 5 6 9 6 9 4 6 4 6 9 7 9 4 5 9 9 6 5 5 6 4 9 4 6 7 5 9 5 5
## [112] 4 4 7 5 2 4 6 5 6 9 9 6 4 6 9 7 9 2 6 9 9 4 7 9 7 1 4 5 4 1 9 4 6 5 5 9 9
## [149] 6 1 7 9 6 7 7 9 9 4 6 7 4 1 6 7 4 1 4 9 6 5 4 9 9 7 4 4 1 4 1 9 5 6 1 5 6
## [186] 4 2 4 3 5 6 4 6 6 9 1 9 2 5 6 7 9 7 1 6 6 7 1 4 6 6 6 6 4 5 9 9 9 5 5 9 6
## [223] 1 9 9 4 2 6 4 6 9 9 3 6 5 9 1 7 4 9 7 7 6 4 5 6 7 9 5 7 9 7 4 6 7 5 5 9 2
## [260] 6 7 5 6 6 6 5 6 9 2 5 6 2 9 4 9 1 6 6 5 4 9 5 9 6 1 5 2 6 7 4 1 4 6 4 9 7
## [297] 5 9 6 1 9 6 6 1 9 5 6 4 6 6 1 9 5 4 6 1 9 9 5 7 5 2 4 7 5 6 5 1 9 6 7 7 9
## [334] 9 7 9 6 9 3 5 1 9 4 5 5 4 6 5 6 1 9 7 6 5 1 7 5 9 5 9 9 4 9 6 9 7 6 6 5 1
## [371] 4 4 1 7 3 5 9 9 5 7 2 7 6 1 7 5 7 5 5 6 6 4 5 5 5 7 9 5 6 9 9 9 6 2 7 7 2
## [408] 6 4 9 6 2 7 7 7 9 7 7 7 9 5 5 7 7 4 9 5 5 7 6 2 5 9 5 9 6 5 1 9 9 9 6 9 6
## [445] 4 5 7 6 6 5 6 9 7 6 5 5 6 2 7 1 9 6 9 6 5 7 4 4 9 4 4 5 6 7 5 6 4 6 6 4 1
## [482] 5 9 2 5 4 6 4 2 1 9 4 7 7 5 5 7 2 6 7 7 9 4 6 7 7 5 9 9 9 9 4 5 3 6 6 4 5
## [519] 7 7 6 9 5 9 4 5 9 7 7 6 9 7 5 6 6 9 6 2 5 5 4 4 4 7 7 5 9 5 7 1 6 2 9 6 4
## [556] 5 5 6 9 7 9 6 6 5 6 7 9 9 4 1 1 5 6 9 4 2 6 5 1 5 9 4 2 5 7 6 5 5 7 6 6 5
## [593] 9 5 6 5 6 5 9 3 2 9 5 4 9 5 5 6 4 6 7 5 9 6 4 6 4 6 6 9 4 4 6 6 9 6 2 7 6
## [630] 9 9 9 7 4 6 9 6 6 3 1 7 9 4 9 9 5 5 6 7 5 1 7 4 6 7 9 7 6 2 1 4 6 1 9 7 4
## [667] 2 5 2 6 9 5 2 9 6 4 4 5 5 6 1 9 5 5 5 6 5 5 4 7 6 1 9 4 4 5 6 5 6 7 5 9 1
## [704] 6 9 4 6 6 5 6 9 6 4 6 5 9 2 5 9 6 4 9 6 6 7 5 3 7 5 9 7 5 6 5 1 5 9 5 9 1
## [741] 9 6 4 7 8 4 4 7 9 7 9 6 3 9 9 6 5 6 5 1 7 1 4 9 5 5 9 6 5 4 6 5 7 9 9 6 6
## [778] 1 6 9 6 6 9 9 5 5 2 9 9 9 6 5 4 6 9 4 9 2 4 6 7 6 9 5 5 5 7 5 5 1 5 7 9 9
## [815] 9 2 7 6 5 5 4 6 6 2 9 1 9 6 5 9 6 6 9 4 5 6 6 6 5 7 5 9 5 4 6 9 9 6 5 9 5
## [852] 9 9 1 5 5 4 9 6 6 9 6 7 6 6 4 7 1 9 6 4 7 5 9 6 7 6 7 1 9 9 5 5 5 6 7 7 5
## [889] 6 4 7 9 4 4 6 2 1 1 5 7 5 5 9 5 9 4 9 1 7 7 6 5 6 6 7 7 7 6 5 4 4 9 5 7 9
## [926] 4 6 5 4 4 9 7 9 6 9 5 6 5 6 9 1 6 5 7 5 7 9 6 7 5 9 6 5 9 7 6 5 7 7 6 6 6
## [963] 9 7 4 4 5 5 6 4 5 9 9 6 5 5 9 5 4 5 4 6 7 9 7 4 9 6 5 7 7 5 7 3 6 7 4 6 9
## [1000] 7 2 5 7 4 5 5 4 9 5 9 7 1 7 7 1 9 9 6 6 9 9 9 6 9 5 4 6 2 7 5 9 6 6 5 5 6
## [1037] 6 5 7 9 5 1 9 9 7 5 6 7 2 5 6 6 4 9 6 4 9 6 2 9 1 9 6 7 6 9 6 6 5 1 3 9 9
## [1074] 7 7 6 7 5 1 5 9 6 6 9 6 4 9 7 5 6 6 7 6 6 6 1 6 1 3 7 9 4 2 5 7 9 9 6 6 3
## [1111] 9 7 5 9 9 7 9 9 4 5 9 6 9 1 6 5 9 9 6 1 7 4 6 7 7 1 5 6 6 7 5 6 6 1 1 9 9
## [1148] 5 5 6 9 6 7 5 6 4 1 7 9 6 9 9 6 6 7 7 7 9 9 9 9 6 6 1 1 6 6 9 9 9 5 5 3 4
## [1185] 5 7 9 9 3 2 1 5 5 5 9 4 7 9 1 9 6 2 4 5 4 9 6 9 1 5 5 1 9 9 4 5 4 6 4 9 2
## [1222] 6 7 1 9 7 5 6 6 5 6 2 4 5 2 6 1 5 9 6 4 6 4 4 3 6 5 9 7 6 7 1 4 6 6 6 6 7
## [1259] 7 5 9 5 6 2 1 9 9 9 1 5 9 9 5 3 1 4 6 9 7 3 6 1 9 6 4 6 6 6 5 9 4 6 4 4 7
## [1296] 1 2 7 9 7 9 5 9 5 5 1 5 5 6 9 5 5 9 5 9 5 5 5 1 6 9 1 6 1 7 9 4 5 9 6 6 5
## [1333] 4 5 5 7 5 7 4 1 1 7 5 6 9 5 9 9 5 6 6 6 7 9 5 6 6 6 5 4 5 4 9 5 7 6 7 4 9
## [1370] 4 4 9 7 6 6 6 7 7 9 1 6 9 5 2 9 1 1 9 7 9 9 7 5 9 4 4 1 9 1 7 1 4 4 6 7 5
## [1407] 4 5 7 7 5 7 6 9 7 1 9 7 6 6 7 9 9 9 5 4 1 6 9 6 7 4 9 9 6 6 3 9 9 5 7 4 9
## [1444] 5 6 2 5 7 9 7 9 7 7 9 6 7 9 4 6 6 9 2 5 5 6 5 5 9 2 1 9 1 5 7 5 4 7 9 4 2
## [1481] 1 9 5 1 5 9 6 6 9 9 7 6 3 4 5 3 6 5 6 4 6 5 5 3 4 6 7 6 9 2 9 9 6 6 9 4 7
## [1518] 5 5 6 5 7 5 9 4 9 7 7 6 9 6 7 6 6 7 7 9 5 6 7 6 6 5 1 5 1 7 9 7 9 9 1 7 6
## [1555] 1 6 6 5 5 5 7 1 5 9 1 9 7 7 1 6 9 5 9 5 5 2 2 6 7 4 9 6 5 6 3 5 6 9 9 9 7
## [1592] 6 4 5 2 6 6 9 5 4 9 1 7 6 9 4 4 4 6 1 9 5 6 6 2 1 7 6 9 4 9 9 9 9 9 9 7 1
## [1629] 5 2 4 9 1 5 6 6 9 6 4 9 5 9 5 9 9 5 6 5 5 6 6 9 5 6 6 5 9 4 2 9 6 5 5 1 6
## [1666] 4 5 4 7 6 5 4 1 9 7 6 4 6 9 7 5 6 7 7 9 9 9 1 5 6 9 2 9 6 7 9 7 6 7 6 6 6
## [1703] 6 7 4 6 9 5 6 9 6 2 5 2 9 4 4 9 6 6 7 1 4 1 5 7 6 5 5 6 6 4 5 4 9 7 9 5 5
## [1740] 7 4 6 6 7 9 7 5 9 4 2 6 3 9 5 7 7 5 7 5 5 2 9 9 4 7 5 4 5 9 6 6 9 4 1 9 9
## [1777] 5 6 9 7 5 4 3 9 9 5 1 4 6 6 9 9 4 5 1 9 4 2 4 6 9 7 7 9 7 6 5 2 9 5 9 6 7
## [1814] 9 5 9 5 5 5 6 7 9 9 1 4 4 5 4 1 4 5 1 7 1 7 6 5 7 7 5 6 6 4 9 7 6 4 6 4 5
## [1851] 4 9 9 9 6 1 9 5 4 7 1 4 9 5 9 1 6 9 4 5 6 6 9 1 6 9 9 5 9 4 9 6 5 6 7 9 2
## [1888] 1 7 6 6 7 1 6 9 5 5 9 4 4 7 9 6 9 5 9 6 9 6 6 6 4 4 3 4 6 7 4 6 1 7 7 4 6
## [1925] 9 6 6 6 7 7 9 1 2 4 1 5 2 9 6 3 1 6 4 6 7 4 6 6 7 6 5 2 4 9 6 3 4 4 4 5 6
## [1962] 6 2 1 4 7 9 1 7 7 4 4 7 6 9 9 5 7 9 5 4 4 5 4 4 1 6 5 5 9 6 6 9 7 7 4 7 7
## [1999] 9 6 4 9 5 4 4 6 6 6 5 9 5 5 7 9 7 9 6 4 6 6 1 5 9 1 9 6 9 5 6 9 6 4 4 9 4
## [2036] 7 6 9 9 9 6 7 6 6 9 9 9 1 1 7 6 4 6 9 4 5 6 9 9 5 7 4 6 9 9 6 6 4 4 6 4 7
## [2073] 4 7 9 4 3 5 6 4 4 4 4 7 6 9 9 5 2 5 5 5 9 5 4 9 6 9 9 5 4 7 4 6 6 5 7 9 9
## [2110] 6 3 6 5 9 6 5 6 9 5 5 6 5 4 4 6 6 7 7 9 9 6 7 9 5 9 9 5 4 7 6 5 5 5 6 2 6
## [2147] 1 5 9 7 7 5 7 6 9 2 5 7 4 4 1 4 1 6 9 6 9 9 9 5 4 9 9 6 6 5 2 6 4 2 5 7 9
## [2184] 1 9 3 1 4 5 2 1 4 6 1 7 9 7 5 6 5 9 1 7 5 9 4 4 1 6 7 4 5 1 6 6 7 1 5 9 6
## [2221] 4 7 7 9 7 5 9 9 5 9 9 6 4 6 7 6 7 7 7 6 6 6 9 4 4 6 6 5 6 6 6 4 5 1 5 9 9
## [2258] 5 9 5 6 7 9 5 9 9 7 5 9 1 4 6 9 1 4 6 9 6 7 6 7 9 5 7 7 7 5 4 1 7 7 6 9 7
## [2295] 6 2 4 6 5 5 1 5 6 7 4 9 6 4 9 6 6 7 9 9 4 5 6 9 7 4 9 4 7 9 9 7 9 6 9 5 6
## [2332] 2 5 9 5 4 3 6 9 6 9 3 7 6 7 5 5 4 1 6 5 6 4 6 6 6 9 9 5 4 4 5 3 9 4 5 6 9
## [2369] 5 5 6 4 9 4 5 5 5 5 4 9 4 2 7 7 6 5 6 4 5 4 1 5 7 6 6 4 7 7 6 9 9 9 6 1 5
## [2406] 6 9 6 9 6 6 5 1 7 9 7 9 9 3 3 6 9 6 5 4 5 9 6 5 6 1 4 1 6 4 9 9 7 9 9 9 7
## [2443] 6 9 9 7 7 5 6 5 6 4 5 9 6 1 9 5 1 5 7 9 1 9 7 7 1 4 7 1 4 4 5 5 6 4 4 9 7
## [2480] 6 2 6 6 5 6 6 7 3 7 4 7 9 5 6 9 4 9 2 7 7 9 7 5 7 4 9 7 5 6 6 9 6 6 5 5 5
## [2517] 5 4 6 6 6 6 3 7 5 6 5 9 6 5 1 7 5 9 7 4 9 7 4 7 6 4 7 4 1 9 9 5 7 9 9 6 4
## [2554] 4 4 5 6 9 5 4 6 5 9 6 5 9 7 7 9 4 4 5 4 7 9 2 6 6 2 1 6 9 7 5 9 7 4 5 5 6
## [2591] 4 6 5 5 7 4 9 4 6 6 9 9 7 1 5 7 9 6 5 5 5 7 7 5 2 7 7 9 7 7 9 9 7 9 6 7 6
## [2628] 7 1 1 9 4 5 9 9 7 5 5 9 9 9 6 6 5 5 6 4 6 4 5 1 5 4 5 9 6 7 5 6 2 6 6 6 6
## [2665] 9 6 6 7 9 9 1 5 6 7 9 4 5 9 6 9 7 4 5 6 4 6 6 5 6 5 5 9 5 6 9 6 6 6 5 6 9
## [2702] 1 7 2 1 4 4 6 4 4 9 5 4 5 9 7 6 7 5 1 5 2 9 6 1 4 1 6 6 9 6 6 6 1 6 4 9 6
## [2739] 1 9 4 5 2 9 5 9 9 4 9 3 7 9 7 5 7 6 5 5 5 7 9 5 6 9 6 1 6 2 4 6 6 5 7 6 1
## [2776] 4 1 4 2 5 7 9 4 6 4 6 5 2 9 4 9 6 6 5 6 2 2 9 9 6 9 3 7 9 7 4 7 5 6 5 2 5
## [2813] 9 9 6 2 6 9 6 9 5 9 4 6 9 5 6 1 6 4 9 5 6 5 1 7 6 9 6 7 5 7 7 9 2 9 4 1 9
## [2850] 9 4 7 7 7 5 9 7 5 1 5 9 5 9 5 6 5 7 6 7 5 9 7 4 9 4 6 7 5 7 9 6 4 7 6 7 6
## [2887] 9 6 5 7 4 7 5 9 7 9 9 9 6 7 3 6 6 9 5 6 9 4 7 9 9 5 9 6 4 9 5 6 5 4 5 5 3
## [2924] 4 6 7 7 9 6 9 1 9 9 9 5 7 4 6 1 4 6 6 9 7 2 4 9 7 5 2 5 4 5 5 6 4 4 7 9 9
## [2961] 5 1 1 9 7 5 5 5 4 7 6 6 5 7 1 5 1 6 6 7 5 6 6 1 4 5 4 9 6 4 9 9 4 6 9 9 7
## [2998] 2 7 9 9 9 9 7 2 5 9 5 9 5 9 4 5 7 7 6 1 5 5 1 7 5 6 5 4 1 2 4 5 7 9 7 6 9
## [3035] 4 7 7 4 4 1 5 5 4 7 4 6 7 9 4 7 7 6 7 9 1 6 6 7 6 5 7 5 7 1 5 7 9 1 6 1 4
## [3072] 6 3 9 2 7 9 9 6 5 9 5 1 9 7 9 6 4 7 6 9 7 5 9 7 5 5 6 2 6 5 5 7 5 9 1 7 4
## [3109] 5 7 6 6 4 7 4 7 7 9 9 6 5 7 7 9 6 4 5 5 9 1 6 7 9 7 6 7 9 5 9 9 9 4 1 4 9
## [3146] 1 6 6 6 7 1 5 6 6 9 6 1 6 7 9 9 9 9 5 4 5 6 7 7 1 6 9 4 4 4 7 9 1 6 6 6 5
## [3183] 9 7 4 9 4 1 7 6 5 5 5 7 6 9 4 9 9 9 5 9 9 6 6 4 6 3 7 7 7 9 5 1 4 9 4 9 6
## [3220] 1 5 4 7 7 9 9 5 6 6 4 4 6 7 5 5 9 5 9 4 6 1 3 1 4 4 2 2 5 9 5 9 4 7 6 1 4
## [3257] 1 6 6 9 9 7 6 3 4 7 7 4 4 9 7 5 5 4 4 9 7 9 1 5 4 6 3 5 3 6 6 9 9 4 4 4 5
## [3294] 5 4 5 9 1 7 6 7 2 6 1 5 9 5 9 4 9 5 1 5 9 1 7 1 7 9 7 5 7 7 9 6 4 4 6 5 5
## [3331] 6 7 4 7 7 4 5 9 7 9 7 9 7 6 9 9 1 7 9 5 5 5 9 7 6 1 6 4 7 6 6 5 7 4 6 6 9
## [3368] 5 1 5 9 5 4 5 9 1 5 7 9 6 6 9 4 7 9 2 7 6 4 2 1 7 7 7 7 2 9 9 9 5 5 1 4 4
## [3405] 4 1 9 5 9 6 6 5 5 7 1 6 7 9 4 9 5 7 9 5 6 6 6 7 2 6 5 9 9 1 6 7 2 9 9 7 6
## [3442] 5 7 6 7 5 5 7 4 7 4 4 7 7 3 4 9 1 4 5 7 9 9 6 4 4 5 6 9 4 6 9 6 4 9 4 2 6
## [3479] 9 6 7 5 6 9 4 9 3 6 4 7 4 4 9 5 6 9 6 5 4 6 6 6 4 5 6 6 9 6 7 9 5 5 9 7 4
## [3516] 6 7 9 5 7 7 1 7 4 2 6 5 1 6 7 9 5 9 6 6 9 5 2 7 9 6 4 6 6 2 7 5 6 9 9 6 4
## [3553] 6 5 9 5 6 2 5 4 9 7 6 9 9 6 9 6 6 9 6 7 6 5 6 5 6 9 9 7 4 7 5 6 6 4 2 6 6
## [3590] 3 5 5 4 6 5 1 7 7 5 9 4 4 2 2 4 4 7 9 4 9 5 5 7 4 2 9 6 4 6 7 1 6 4 6 7 5
## [3627] 4 5 4 7 6 4 1 9 1 9 5 9 1 6 7 6 9 6 5 3 7 5 2 7 5 9 5 7 7 7 4 5 2 6 5 9 6
## [3664] 9 9 9 1 7 5 5 2 5 5 4 5 4 6 9 7 7 7 5 2 9 1 4 6 5 9 6 6 4 1 7 9 5 9 7 9 7
## [3701] 9 1 5 6 7 9 9 7 9 9 4 6 3 6 6 4 5 5 6 7 7 6 9 5 7 6 9 5 1 5 7 5 7 2 9 9 6
## [3738] 7 4 9 5 6 7 4 9 5 9 9 9 5 2 1 9 4 9 6 2 2 6 7 1 5 2 6 7 9 4 9 6 9 7 7 6 9
## [3775] 9 9 5 5 7 9 7 5 4 4 5 6 6 9 9 5 2 5 6 4 7 6 5 5 6 4 1 6 6 9 5 6 2 5 7 7 5
## [3812] 4 9 4 6 4 5 6 4 5 7 4 9 9 6 4 1 4 6 5 1 5 9 1 9 6 5 7 5 4 4 9 2 5 9 6 4 6
## [3849] 6 6 1 5 5 5 2 6 9 5 6 4 9 9 7 1 7 1 5 5 2 2 4 9 5 6 1 6 1 1 4 6 9 9 9 5 9
## [3886] 9 4 9 6 6 5 4 1 9 6 6 9 9 5 9 5 1 9 6 6 7 9 7 7 4 6 9 5 4 4 9 2 5 9 2 9 9
## [3923] 4 9 6 4 9 6 4 7 9 5 7 9 6 3 4 4 5 6 2 3 5 4 6 1 4 9 1 9 4 5 4 7 2 2 9 4 7
## [3960] 5 9 1 6 9 7 1 4 1 5 5 9 5 6 4 7 6 7 9 9 6 6 9 6 9 6 1 4 6 5 5 4 2 2 7 4 6
## [3997] 9 5 7 6 7 7 5 9 6 1 5 5 9 9 4 6 9 9 5 6 4 6 5 9 6 6 5 6 9 5 6 9 6 5 9 5 9
## [4034] 5 4 6 9 1 9 5 7 3 1 5 4 9 4 4 1 1 6 4 1 5 5 5 1 6 6 7 7 9 6 5 9 5 2 5 5 5
## [4071] 9 5 6 6 2 4 6 6 6 6 6 5 9 6 9 9 6 7 4 4 9 4 1 1 7 5 6 6 4 7 6 9 9 9 6 6 5
## [4108] 9 5 7 9 2 9 2 7 5 9 2 6 1 6 5 5 7 4 5 9 7 7 9 5 6 3 5 9 9 5 6 9 9 9 5 5 6
## [4145] 9 7 5 7 6 5 7 6 7 5 6 2 4 6 9 9 9 9 9 9 7 6 6 5 7 5 9 9 2 7 1 6 9 5 1 5 4
## [4182] 4 9 9 9 6 9 5 5 9 4 9 7 9 1 9 1 6 6 2 1 9 9 4 4 4 9 7 6 4 6 6 4 7 5 5 6 6
## [4219] 5 9 6 5 6 5 6 9 4 9 1 6 7 9 4 7 7 6 4 5 7 9 9 7 9 5 4 6 7 5 6 1 5 4 9 7 7
## [4256] 7 7 6 5 7 7 7 4 9 6 7 6 9 6 4 5 4 7 6 6 6 4 1 5 2 7 5 1 9 5 1 7 9 6 6 9 6
## [4293] 6 6 7 2 7 3 4 9 7 5 5 6 6 6 4 6 9 9 6 5 1 6 9 2 9 6 4 2 6 5 4 5 1 5 4 7 4
## [4330] 7 1 1 4 4 4 9 7 7 6 7 7 6 6 9 6 7 5 4 6 6 7 5 9 4 9 9 5 7 4 5 4 3 5 6 6 4
## [4367] 4 4 4 9 6 9 4 5 6 4 6 1 1 6 1 9 9 6 4 4 5 6 4 1 5 6 1 6 5 9 6 7 5 9 6 5 6
## [4404] 7 1 6 4 5 6 1 9 7 5 7 9 9 5 5 9 9 9 6 6 9 7 6 9 1 5 5 5 5 9 6 9 7 3 6 1 6
## [4441] 9 6 5 5 9 5 5 5 9 7 6 9 2 6 4 1 6 1 7 2 6 4 9 5 9 7 6 5 1 6 4 7 2 1 4 1 9
## [4478] 5 5 9 9 7 4 6 6 7 5 5 7 7 9 6 5 6 4 6 6 6 7 1 6 6 9 9 5 6 5 6 5 5 7 5 9 5
## [4515] 5 9 9 5 9 7 1 9 9 9 1 6 7 7 4 9 4 9 7 5 1 9 6 3 5 7 5 7 9 9 9 5 7 7 9 7 6
## [4552] 9 6 5 9 9 9 1 6 7 7 9 5 4 5 6 9 9 9 9 4 6 6 3 6 7 1 6 7 1 4 4 7 9 1 6 5 4
## [4589] 7 3 6 7 6 9 5 3 6 2 1 6 7 2 9 6 6 5 6 5 6 7 1 4 5 5 5 6 6 6 4 7 6 2 1 5 9
## [4626] 6 6 9 4 6 9 2 9 9 4 7 6 6 9 9 1 9 9 7 5 4 6 6 3 6 6 6 4 4 9 2 5 6 2 5 4 3
## [4663] 7 1 4 9 5 7 7 6 1 5 9 9 6 9 9 9 6 6 4 9 6 6 9 9 7 4 9 9 6 4 9 9 5 9 4 5 5
## [4700] 2 4 7 4 9 7 6 9 6 6 5 9La función NbClust prueba con diferente número de grupos y evalúa cuál es número óptimo de clusters según algunos criterios (muestra los resultados gráficos de la aplicación de algunos de ellos). Vemos que finalmente, nos dice que el número óptimo de grupos es 3, dado que es en el que más criterios de optimalidad coinciden.
Ahora, tras probar nosotros manualmente con diferente número de grupos, comprobamos que las mejores maneras para agrupar a los coches en función de la gama que tienen es creando 3,4 u 8 grupos.
# Ponemos una semilla para obtener siempre los mismos 3 grupos
set.seed(20112090)
km0 = kmeans(x=TrainEscalado, nstart = 5, centers = 3)
km0$centers #km2$[2]## Year Kilometers_Driven Engine Power Price kmpl
## 1 0.3253638 -0.0611996 1.37201471 1.4680576 1.4610785 -0.7413217
## 2 -1.0681538 0.2503815 0.04160836 -0.1492665 -0.4474343 -0.6201845
## 3 0.4455477 -0.1105182 -0.57602959 -0.5117040 -0.3478727 0.6340075tkm0 <- table(km0$cluster,data$Gama)
tkm0##
## Alta Baja-media
## 1 905 73
## 2 356 953
## 3 92 2332# Ponemos una semilla para obtener siempre los mismos 4 grupos
set.seed(22032023)
km1 = kmeans(x=TrainEscalado, nstart = 5, centers = 4)
km1$centers #km1$[2]## Year Kilometers_Driven Engine Power Price kmpl
## 1 -1.2013643 0.1464077 -0.4491522 -0.5128053 -0.5978962 -0.3443545
## 2 -0.1286413 0.1717612 1.0387989 0.8212333 0.3662194 -0.7705951
## 3 0.5202489 -0.1219503 -0.5769438 -0.5043002 -0.3395386 0.6622250
## 4 0.6284743 -0.1958552 1.7519820 2.1655859 2.8047656 -0.7944150tkm1 <- table(km1$cluster,data$Gama)
tkm1##
## Alta Baja-media
## 1 77 953
## 2 870 232
## 3 74 2159
## 4 332 14# Ponemos una semilla para obtener siempre los mismos 8 grupos
set.seed(20112020)
km2 = kmeans(x=TrainEscalado, nstart = 5, centers = 8)
km2$centers #km2$[2]## Year Kilometers_Driven Engine Power Price kmpl
## 1 0.7474046 -0.215013813 -0.4558985 -0.3368124 -0.23872151 0.1001606
## 2 0.6705904 -0.143829782 0.9138645 1.0616096 1.31598716 -0.4591534
## 3 0.6179466 -0.089033566 -0.7068906 -0.6775746 -0.38607087 1.3429620
## 4 -0.1313711 0.006899268 -0.7771851 -0.8573284 -0.47245641 -3.8415039
## 5 -0.5355855 0.062374606 -0.5472943 -0.5250797 -0.53531404 0.2572020
## 6 -2.1245518 0.281847224 -0.3699003 -0.5410684 -0.67361109 -0.3691450
## 7 0.2505949 -0.142263332 2.5613160 3.0441732 3.36430324 -1.0824906
## 8 -0.7006775 0.367237420 1.1640519 0.7542959 -0.01418397 -0.9321174table(km2$cluster,data$Gama)##
## Alta Baja-media
## 1 50 977
## 2 545 64
## 3 22 803
## 4 5 61
## 5 29 977
## 6 32 300
## 7 166 2
## 8 504 174# Ponemos una semilla para obtener siempre los mismos 8 grupos
set.seed(201120572)
km3 = kmeans(x=TrainEscalado, nstart = 5, centers = 9)
km3$centers #km2$[2]## Year Kilometers_Driven Engine Power Price kmpl
## 1 0.7457212 -0.216085906 -0.4606091 -0.3420833 -0.24078272 0.08982149
## 2 -0.5380988 0.062578193 -0.5479289 -0.5259096 -0.53567271 0.25766538
## 3 0.2505949 -0.142263332 2.5613160 3.0441732 3.36430324 -1.08249057
## 4 0.6744025 -0.143545245 0.9136031 1.0614304 1.32163596 -0.45638120
## 5 -0.6978533 0.270519256 1.1603176 0.7529817 -0.01917599 -0.93074958
## 6 -0.1313711 0.006899268 -0.7771851 -0.8573284 -0.47245641 -3.84150392
## 7 1.1117978 63.738691629 2.2760090 2.7023168 4.98013063 -0.42798303
## 8 0.6197888 -0.088702794 -0.6984679 -0.6671467 -0.38233324 1.33768775
## 9 -2.1245518 0.281847224 -0.3699003 -0.5410684 -0.67361109 -0.36914499table(km3$cluster,data$Gama)##
## Alta Baja-media
## 1 50 968
## 2 29 973
## 3 166 2
## 4 542 63
## 5 506 176
## 6 5 61
## 7 1 0
## 8 22 815
## 9 32 300Para no complicar demasiado el entendimiento del algoritmo, decidimos quedarnos con 3 clusters:
En el primer cluster, sobre todo, clasifica a los coches con valores altos de Price, Engine y Power. En esta categoría tenemos 978 coches, es decir, al 20.76% del total.
En el segundo cluster, si nos fijamos, clasifica a los coches con valores medios en casi todas las variables, con año de fabricación antiguo y kmpl alto. En esta categoría tenemos 1309 coches, es decir, al 27.79% del total.
En el tercer cluster, clasificamos a los coches con valores bajos en Precio, Engine y Power. En esta categoría tenemos 2424 coches relativamente comunes (sin valores atípicos o muy influyentes en ninguna de sus variables), es decir, al 51.45% del total.
Fijándonos en la tabla que nos devuelve, vemos que en el primer grupo la mayoría de los coches son de gama alta (el 92.54%); en el segundo grupo, los coches están bastante mezclados aunque son mayoría en la clase de gama media-baja pero necesitaríamos analizarlos más en profundidad para poder separarlos mejor (72.8% de coches de gama alta frente a un 27.2% de coches de gama media o baja); y en el tercer grupo, al contario que en el primero, la mayoría son de gama baja o media (un 96.2%)
Veamos esto que acabamos de explicar con algunos gráficos.
Según los cluster que hemos formado, si enfrentamos el precio (dominante en el grupo 1 con valores altos) frente a la variable Engine (dominante en el grupo 3 con valores bajos), deberíamos obtener un gráfico en el que los cluster 1 y 3 estuviesen bien diferenciados y el 2, que tenía valores medios, esté mezclado con ambos.
plot(TrainEscalado$Engine, TrainEscalado$Price, col=km0$cluster, pch=19 , cex=2, xlab = "Engine", ylab="Price", main = "Engine vs Price")
legend(-2,12,c("Cluster 1","Cluster 2","Cluster 3"),fill = (unique(sort(km0$cluster))))
Observamos como los coches de los cluster 1 y 3 están perfectamente separados. Además, esperábamos que el cluster 3 estuviese mezclado con los otros dos, sin embargo, vemos que enfrentando estas dos variables, separamos muy bien los tres grupos pese a que si que se juntan en ciertos coches.
Podríamos seguir haciendo gráficos y comprobaciones, pero con eso ya vemos que tenemos una buena forma de clasificar a algunos de los coches. En el grupo 1 teníamos mayoritariamente coches de gama alta; en el grupo 2, mezcla; y en el grupo 3, coches de gama baja o media. Hemos comprobado que los grupos 1 y 3 se separan muy bien gráficamente, pero de hecho, los grupos 1 y 2 también, dado que donde más "mezcla apreciamos es entre los cluster 2 y 3. Esto nos es de gran ayuda.
Clustering jerárquico
Para realizar el clustering jerárquico, también utilizaremos la distancia euclídea. Pero debemos definir cuál será la distancia entre dos grupos, que será la que nos sirva como criterio para decidir cuando se deben unir dos cluster. En R podemos definir diferentes distancias entre ellos (distancias entre los centroides de cada grupo, distancias entre los elementos más próximos de cada grupo, distancias entre los elementos más alejados de cada grupo…). Veremos cuál es el resultado de utilizar alguna de ellas mostrando los dendrogramas asociados a cada una.
En el primer caso utilizaremos el método single (distancia entre los elementos más cercanos de cada cluster):
#TrainEscalado[-745,] <- TrainEscalado
hc1 = hclust(d=dist(TrainEscalado), method = "single" )
plot(hc1)
En este dendrograma, podemos ver que tenemos un coche atípico (el 745), que se acumula a la izquierda.
En el segundo caso utilizaremos el método complete (distancia entre los elementos más alejados de cada cluster):
hc2 = hclust(d=dist(TrainEscalado), method = "complete")
plot(hc2)
En este caso sucede algo parecido a lo que ocurría antes, el coche 745, vuelve a aparecer “al margen” del resto, y vuelve a destacar por ser uno de los últimos coches en agruparse en el dendrograma, aunque ya se empiezan a visualizar diferentes agrupaciones.
En el tercer caso utilizaremos el método average (distancia media entre las observaciones de cada cluster):
hc3 = hclust(d=dist(TrainEscalado), method = "average" )
plot(hc3)
En este tercer caso, de nuevo, volvemos a observar que el coche 745 está más separado del resto que los demás entre sí, y que es este coche el que provoca el “retraso” de la unión de las diferentes agrupaciones iniciales.
En el cuarto y último caso utilizaremos el método centroid (distancia entre los centroides de cada cluster):
hc4 = hclust(d=dist(TrainEscalado), method = "centroid" )
plot(hc4)
De nuevo, volvemos a identificar al coche 745 a la izquierda, y volvemos a comprobar cómo es este coche el que produce un mayor retraso en la última unión de todos los grupos.
Como ya se vio en el análisis exploratorio de datos, podríamos pensar en eliminarlo, pero como tampoco tenemos más información y no sabemos si en realidad son outliers o simplemente tienen características un poco diferentes a las de los demás, decidimos quedarnos con ellos, ya que puede que nos aparezca más adelante otro coche similar a alguno de ellos, y nos ayuden a clasificarlo adecuadamente.
Por último, tomando el segundo dendrograma, que parece ser en el que mejor se observan las diferentes agrupaciones, vamos a proceder a tomar únicamente 3 grupos (igual que hicimos en el clustering no jerárquico).
plot(hc2)
rect.hclust(hc2, k=4, border = "blue")
Con esto vemos que tenemos un cluster principal en el que se aglutinan la mayoría de los coches y otros dos formados por muy pocos coches (los más atípicos de los extremos del dendrograma). Veamos cómo al formar 10 grupos se observan mejor la subdivisiones.
plot(hc2)
rect.hclust(hc2, k=10, border = "blue")
Análisis supervisado
Regresión logística
La división de los coches en gama baja-media y gama alta ha sido necesaria también para poder realizar la regresión logística sobre la nueva variable.
Se realizan las siguientes gráficas para visualizar los datos con la nueva variable:
table(data$Gama)##
## Alta Baja-media
## 1353 3358ggplot(data, aes(x = Power, y = Price, color = Gama)) + geom_point()
ggplot(data, aes(x = Engine, y = Price, color = Gama)) + geom_point()
ggplot(data, aes(x = Transmission, y = Price, color = Gama)) + geom_point()
ggplot(data, aes(x = Seats, y = Price, color = Gama)) + geom_point()
ggplot(data, aes(x = Owner_Type, y = Price, color = Gama)) + geom_point()
Ahora, se van a aplicar los modelos con distintas covariables para buscar el mejor de ellos:
# modelos lineales generalizados estimados por MLE
logit <- glm(
Gama ~Power+Seats+Transmission+Owner_Type+Engine,
data = data,
family = binomial()
)
summary(logit)##
## Call:
## glm(formula = Gama ~ Power + Seats + Transmission + Owner_Type +
## Engine, family = binomial(), data = data)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.9207 -0.0737 0.1778 0.3066 4.0002
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -3.668e+00 4.878e+02 -0.008 0.9940
## Power -1.940e-02 2.370e-03 -8.183 2.76e-16 ***
## Seats4 1.186e+01 4.878e+02 0.024 0.9806
## Seats5 1.236e+01 4.878e+02 0.025 0.9798
## Seats6 -6.639e+00 6.166e+02 -0.011 0.9914
## Seats7 1.158e+01 4.878e+02 0.024 0.9811
## Seats8 9.311e+00 4.878e+02 0.019 0.9848
## Seats9 1.248e+01 4.878e+02 0.026 0.9796
## Seats10 1.171e+01 4.878e+02 0.024 0.9809
## TransmissionManual 8.966e-01 1.476e-01 6.073 1.25e-09 ***
## Owner_TypeSecond -6.252e-02 1.493e-01 -0.419 0.6755
## Owner_TypeThird 6.359e-01 3.765e-01 1.689 0.0912 .
## Owner_TypeFourth & Above 1.862e+00 1.113e+00 1.672 0.0945 .
## Engine -3.224e-03 2.365e-04 -13.630 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 5649.7 on 4710 degrees of freedom
## Residual deviance: 2164.7 on 4697 degrees of freedom
## AIC: 2192.7
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 15logit2 <- glm(
Gama ~Owner_Type+Seats+Transmission+Engine,
data = data,
family = binomial()
)
summary(logit2)##
## Call:
## glm(formula = Gama ~ Owner_Type + Seats + Transmission + Engine,
## family = binomial(), data = data)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.8689 -0.0929 0.1818 0.3542 4.0487
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -5.076e+00 4.895e+02 -0.010 0.9917
## Owner_TypeSecond -1.027e-02 1.475e-01 -0.070 0.9445
## Owner_TypeThird 7.748e-01 3.781e-01 2.049 0.0405 *
## Owner_TypeFourth & Above 2.289e+00 1.152e+00 1.987 0.0469 *
## Seats4 1.256e+01 4.895e+02 0.026 0.9795
## Seats5 1.327e+01 4.895e+02 0.027 0.9784
## Seats6 -5.571e+00 6.100e+02 -0.009 0.9927
## Seats7 1.297e+01 4.895e+02 0.026 0.9789
## Seats8 1.077e+01 4.895e+02 0.022 0.9824
## Seats9 1.508e+01 4.895e+02 0.031 0.9754
## Seats10 1.423e+01 4.895e+02 0.029 0.9768
## TransmissionManual 1.361e+00 1.326e-01 10.269 <2e-16 ***
## Engine -4.555e-03 1.894e-04 -24.056 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 5649.7 on 4710 degrees of freedom
## Residual deviance: 2231.2 on 4698 degrees of freedom
## AIC: 2257.2
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 15logit3 <- glm(
Gama ~Power+Transmission+Engine,
data = data,
family = binomial()
)
summary(logit3)##
## Call:
## glm(formula = Gama ~ Power + Transmission + Engine, family = binomial(),
## data = data)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.8679 -0.0698 0.1875 0.3241 4.2115
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 9.3942879 0.3385829 27.746 < 2e-16 ***
## Power -0.0140166 0.0021605 -6.488 8.73e-11 ***
## TransmissionManual 0.6373511 0.1373724 4.640 3.49e-06 ***
## Engine -0.0040538 0.0001737 -23.345 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 5649.7 on 4710 degrees of freedom
## Residual deviance: 2298.2 on 4707 degrees of freedom
## AIC: 2306.2
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6La interpretación de los p-valores es similar a la del modelo lineal. Podemos ver que las variables Engine,Power y Transmission son significativas en el modelo (p-valor mucho menor de 0.05), mientras que la variable Seats y Owner_Type influyen más en un modelo que en otro.
El mejor modelo es el explicado por las variables Power, Engine y Transmission. En cuanto a los coeficientes, la interpretación cambia. El modelo GLM no ajusta la variable respuesta sino una función de enlace. En el caso del modelo logit esta función es: \(η=log(p1−p)\), siendo \(p\) la probabilidad de que el individuo tome el valor “1” correspondiente a la gama alta en la variable dicotómica. Al cociente \(p/(1−p)\) se le conoce como odds ratio. Por tanto, los coeficientes del modelo logit se interpretan como el logaritmo del odds ratio. Si nos fijamos en el coeficiente de la variable Transmission (0.63) en el modelo 3, nos está indicando que el logaritmo del odds ratio de pertenecer al grupo de los coches de alta gama aumenta 0.63 unidades por cada unidad que aumenta la variable Transmission.
Antes de comenzar con las siguientes, lo que debemos hacer es definir una medida de precisión para contrastar los datos una vez que tengamos cada matriz de confusión y comparar los resultados que nos ofrecen cada uno de los métodos que empleemos. En nuestro caso, la variable respuesta no está muy bien balanceada:
summary(data$Gama)## Alta Baja-media
## 1353 3358Como vemos, los coches de gama alta se corresponden con el 30% aproximadamente y los de gama baja-media, el 70%. Supondremos que están más o menos equilibradas. No queremos dar más valor a identificar un tipo de coche frente al otro. Por tanto, se establecerá la siguiente medida de precisión. Esta es una medida de precisión que hemos creado para tener en cuenta todos los casos, tanto los falsos negativos como los falsos positivos. En realidad, se trata de la media geométrica de la sensitividad (recall) y la especificidad, y se define según la siguiente expresión:
\[\text{Medida de precisión}=\sqrt{\frac{TP}{FN+TP}·\frac{TN}{FP+TN}}=\sqrt{TPR·TNR} \] donde:
\(TP\) (true positive) son los coches de gama alta que acertamos que son de gama alta.
\(TN\) (true negative) son los coches de gama baja-media que acertamos que son de baja-media.
\(FP\) (false positive) son los coches de gama baja-media que nosotros predecimos como gama alta.
\(FN\) (false negative) son los coches de gana alta que nosotros predecimos como de gama baja-media.
\(TPR\) (sensitivity, recall, hit rate or true positive rate) es la sensitividad.
\(TNR\) (specificity, dplyr::selectivity or true negative rate) es la especificidad.
Cabe señalar que esta medida sólo será utilizada en futuros análisis cuando el problema requiera de una precisión de este tipo, mientras, se utilizará como métrica el accuracy.
medidaPrecision <- function(matrizDeConfusion){
return(sqrt(matrizDeConfusion[1,1]*matrizDeConfusion[2,2]/((matrizDeConfusion[1,2]+matrizDeConfusion[2,2])*(matrizDeConfusion[2,1]+matrizDeConfusion[1,1]))))
}Los k-vecinos más cercanos (k-NN: The k-nearest neighbours)
El método de los k-vecinos más cercanos consiste en clasificar a un nuevo individuo en función de la categoría de sus \(k\) vecinos más cercanos, es decir, clasificaremos un coche en gama alta o gama media-baja en función de la gama de los coches más cercanos a él (con cercanía nos referimos a similitud entre sus características).
# Ponemos una semilla para que siempre nos salga el mismo resultado (el algoritmo es aleatorio)
set.seed(07122020)trainX <- data[,c(2:10,13,14)]
preProcValues <- preProcess(x = trainX,method = c("center", "scale"))
preProcValues## Created from 4711 samples and 11 variables
##
## Pre-processing:
## - centered (6)
## - ignored (5)
## - scaled (6)Para poder realizar las predicciones, se entrena mediante cross-validation y así se estima el número óptimo de vecinos.
set.seed(400)
ctrl <- trainControl(method="repeatedcv",repeats = 3)
knnFit <- train(Gama ~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)], method = "knn", trControl = ctrl, preProcess = c("center","scale"), tuneLength = 20)
knnFit## k-Nearest Neighbors
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## Pre-processing: centered (30), scaled (30)
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 3 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4240, 4240, 4240, 4240, 4240, ...
## Resampling results across tuning parameters:
##
## k Accuracy Kappa
## 5 0.9133979 0.7882405
## 7 0.9133945 0.7892998
## 9 0.9110582 0.7844472
## 11 0.9080157 0.7778724
## 13 0.9053970 0.7721609
## 15 0.9045491 0.7700798
## 17 0.9045492 0.7699856
## 19 0.9049044 0.7700120
## 21 0.9041972 0.7677520
## 23 0.9049056 0.7685929
## 25 0.9047639 0.7677360
## 27 0.9049062 0.7678410
## 29 0.9044819 0.7665081
## 31 0.9039856 0.7648794
## 33 0.9029251 0.7617441
## 35 0.9024993 0.7604944
## 37 0.9015801 0.7579416
## 39 0.9023573 0.7594855
## 41 0.9024273 0.7591610
## 43 0.9029213 0.7599820
##
## Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
## The final value used for the model was k = 5.plot(knnFit)
knnPredict <- predict(knnFit,newdata =dataTest[,c(2:10,13,14,15)])
data$Gama <- factor(data$Gama,levels=c("Alta","Baja-media"),labels=c("Alta","Baja-media"))
dataTest$Gama <- factor(dataTest$Gama,levels=c("Alta","Baja-media"),labels=c("Alta","Baja-media"))
confusionMatrix(knnPredict, dataTest$Gama )## Confusion Matrix and Statistics
##
## Reference
## Prediction Alta Baja-media
## Alta 275 39
## Baja-media 61 798
##
## Accuracy : 0.9147
## 95% CI : (0.8973, 0.9301)
## No Information Rate : 0.7136
## P-Value [Acc > NIR] : < 2e-16
##
## Kappa : 0.7873
##
## Mcnemar's Test P-Value : 0.03573
##
## Sensitivity : 0.8185
## Specificity : 0.9534
## Pos Pred Value : 0.8758
## Neg Pred Value : 0.9290
## Prevalence : 0.2864
## Detection Rate : 0.2344
## Detection Prevalence : 0.2677
## Balanced Accuracy : 0.8859
##
## 'Positive' Class : Alta
## accuracy <- mean(knnPredict == dataTest$Gama)
accuracy## [1] 0.9147485error = 1-accuracy
error## [1] 0.08525149table(knnPredict,dataTest$Gama)##
## knnPredict Alta Baja-media
## Alta 275 39
## Baja-media 61 798Por tanto, tomando el número óptimo de vecinos para realizar las predicciones, tenemos una precisión del 91’5%.
Árboles de decisión
Los árboles de decisión se construyen en base al cumplimiento o no de ciertos criterios en torno a las variables explicativas de los datos. Digamos que comenzamos comprobando un cierto criterio sobre la variable más explicativa. Si el criterio se cumple, nos vamos por una rama; si no, nos vamos por la otra. Por cada una de ellas, volveremos a comprobar otro cierto criterio, y así hasta llegar a las hojas. Las hojas clasifican a los datos en un grupo u otro. Todo esto lo explicaremos mucho mejor cuando construyamos nuestros árboles de decisión.
Primero veremos cuál es el valor óptimo de cp (parámetro de complejidad que combina la tasa de error con la profundidad del árbol). Para ello, construiremos un árbol muy complejo, y en función de los resultados que obtengamos lo “podaremos”.
arbolDecisionInfoComplejo <- rpart(data[,15] ~., data[,c(2:10,13,14)], cp=0.001, method="class",parms=list(split="information"))
plotcp(arbolDecisionInfoComplejo)
En el gráfico vemos que el mínimo se encuentra en torno al 0,0036, así que para obtener el mejor compromiso entre error y profundidad nos quedaremos con un valor de cp=0,004, porque tenemos que tener en cuenta que cuanto más pequeño sea este valor, más complejo y profundo será el árbol y menos error tendremos, sin embargo, corremos el riesgo de sobreajustar el modelo (problema de overfitting). Por otro lado, podemos usar dos criterios diferentes: el de información y el de Gini. Usaremos los dos y comprobaremos con cuál obtenemos una mayor precisión.
Comenzamos con el árbol de decisión utilizando el criterio de información.
arbolDecision <- rpart(data[,15] ~., data[,c(2:10,13,14)], cp=0.004, method="class",parms=list(split="information"))
arbolDecision## n= 4711
##
## node), split, n, loss, yval, (yprob)
## * denotes terminal node
##
## 1) root 4711 1353 Baja-media (0.287200170 0.712799830)
## 2) Engine>=1690 1548 291 Alta (0.812015504 0.187984496)
## 4) Power>=164.2 860 65 Alta (0.924418605 0.075581395)
## 8) Fuel_Type=Diesel 726 31 Alta (0.957300275 0.042699725)
## 16) Seats=4,5,6,8 533 7 Alta (0.986866792 0.013133208) *
## 17) Seats=7 193 24 Alta (0.875647668 0.124352332)
## 34) Engine>=2299.5 177 10 Alta (0.943502825 0.056497175)
## 68) kmpl>=10.955 166 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 69) kmpl< 10.955 11 1 Baja-media (0.090909091 0.909090909) *
## 35) Engine< 2299.5 16 2 Baja-media (0.125000000 0.875000000) *
## 9) Fuel_Type=Petrol 134 34 Alta (0.746268657 0.253731343)
## 18) Power>=180.515 96 9 Alta (0.906250000 0.093750000) *
## 19) Power< 180.515 38 13 Baja-media (0.342105263 0.657894737)
## 38) Power< 177.235 7 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 39) Power>=177.235 31 6 Baja-media (0.193548387 0.806451613) *
## 5) Power< 164.2 688 226 Alta (0.671511628 0.328488372)
## 10) Engine>=2117.5 420 68 Alta (0.838095238 0.161904762)
## 20) Power< 140.5 335 22 Alta (0.934328358 0.065671642)
## 40) Power< 137 229 6 Alta (0.973799127 0.026200873) *
## 41) Power>=137 106 16 Alta (0.849056604 0.150943396)
## 82) Power>=138.555 90 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 83) Power< 138.555 16 0 Baja-media (0.000000000 1.000000000) *
## 21) Power>=140.5 85 39 Baja-media (0.458823529 0.541176471)
## 42) kmpl>=13.59 31 6 Alta (0.806451613 0.193548387) *
## 43) kmpl< 13.59 54 14 Baja-media (0.259259259 0.740740741)
## 86) Engine< 2188.5 9 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 87) Engine>=2188.5 45 5 Baja-media (0.111111111 0.888888889) *
## 11) Engine< 2117.5 268 110 Baja-media (0.410447761 0.589552239)
## 22) Engine< 1796.5 22 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 23) Engine>=1796.5 246 88 Baja-media (0.357723577 0.642276423)
## 46) Power< 155.875 210 88 Baja-media (0.419047619 0.580952381)
## 92) Engine< 1798.5 28 1 Alta (0.964285714 0.035714286) *
## 93) Engine>=1798.5 182 61 Baja-media (0.335164835 0.664835165)
## 186) Engine>=1932 134 61 Baja-media (0.455223881 0.544776119)
## 372) kmpl< 16.88 76 26 Alta (0.657894737 0.342105263)
## 744) kmpl>=15.05 39 2 Alta (0.948717949 0.051282051) *
## 745) kmpl< 15.05 37 13 Baja-media (0.351351351 0.648648649) *
## 373) kmpl>=16.88 58 11 Baja-media (0.189655172 0.810344828)
## 746) kmpl>=20.19 8 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 747) kmpl< 20.19 50 3 Baja-media (0.060000000 0.940000000) *
## 187) Engine< 1932 48 0 Baja-media (0.000000000 1.000000000) *
## 47) Power>=155.875 36 0 Baja-media (0.000000000 1.000000000) *
## 3) Engine< 1690 3163 96 Baja-media (0.030350933 0.969649067)
## 6) Engine>=1353.5 1250 80 Baja-media (0.064000000 0.936000000)
## 12) Engine< 1366 30 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 13) Engine>=1366 1220 50 Baja-media (0.040983607 0.959016393)
## 26) Seats=4,7 59 19 Baja-media (0.322033898 0.677966102)
## 52) Power>=99.41 31 13 Alta (0.580645161 0.419354839)
## 104) Fuel_Type=Diesel 15 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 105) Fuel_Type=Petrol 16 3 Baja-media (0.187500000 0.812500000) *
## 53) Power< 99.41 28 1 Baja-media (0.035714286 0.964285714) *
## 27) Seats=5,8 1161 31 Baja-media (0.026701120 0.973298880)
## 54) Engine< 1496.5 416 27 Baja-media (0.064903846 0.935096154)
## 108) Engine>=1495.5 18 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 109) Engine< 1495.5 398 9 Baja-media (0.022613065 0.977386935) *
## 55) Engine>=1496.5 745 4 Baja-media (0.005369128 0.994630872) *
## 7) Engine< 1353.5 1913 16 Baja-media (0.008363826 0.991636174)
## 14) Seats=6 7 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 15) Seats=4,5,7,8 1906 9 Baja-media (0.004721931 0.995278069) *Aquí tenemos nuestro árbol de decisión. Como vemos, la primera pregunta (2 y 3) que le hará a un nuevo coche es si su motor es mayor o igual o menor a 1690. Si es mayor o igual a 1690, le preguntará si la potencia es inferior a 164.2 (preguntas 4 y 5); y si es que no, preguntará si el tipo de combustible es de diésel o petróleo(preg 8 y 9). Si es de diésel, entonces habrá que fijarse en el número de asientos que posea el coche. En este punto del árbol, si el número de asientos es 7, se volverá a clasificar por el motor, en función de si es mayor a 2299 en el que cerraremos la rama del árbol observando si la variable kmpl es inferior a 10. Así se ha llegado a un nodo hoja (marcados en asterisco) como por ejemplo llegar hasta la condición 69 y cumplirla, donde se clasifica el coche en gama media-baja o gama alta (dependiendo de la hoja en cuestión a la que haya llegado el coche). Como acabamos de señalar, las variables más informativas de nuestro árbol son el motor y la potencia de los coches. Tiene sentido que esto sea así, y que la primera característica sobre la que “pregunte” el árbol para clasificar a un nuevo coche sea Engine. ¿Por qué? Porque tal y como vimos, en la sección del análisis exploratorio de datos, justo era ésta la covariable más relacionada con gama de los coches. Así que los resultados obtenidos son perfectamente coherentes con todo el estudio realizado hasta el momento.
Aquí tenemos las preguntas que se han hecho a lo largo del árbol.
labels(arbolDecision, pretty=T)## [1] "root" "Engine>=1690" "Power>=164.2" "Fuel_Type=Disl"
## [5] "Seats=4,5,6,8" "Seats=7" "Engine>=2300" "kmpl>=10.96"
## [9] "kmpl< 10.96" "Engine< 2300" "Fuel_Type=Ptrl" "Power>=180.5"
## [13] "Power< 180.5" "Power< 177.2" "Power>=177.2" "Power< 164.2"
## [17] "Engine>=2118" "Power< 140.5" "Power< 137" "Power>=137"
## [21] "Power>=138.6" "Power< 138.6" "Power>=140.5" "kmpl>=13.59"
## [25] "kmpl< 13.59" "Engine< 2188" "Engine>=2188" "Engine< 2118"
## [29] "Engine< 1796" "Engine>=1796" "Power< 155.9" "Engine< 1798"
## [33] "Engine>=1798" "Engine>=1932" "kmpl< 16.88" "kmpl>=15.05"
## [37] "kmpl< 15.05" "kmpl>=16.88" "kmpl>=20.19" "kmpl< 20.19"
## [41] "Engine< 1932" "Power>=155.9" "Engine< 1690" "Engine>=1354"
## [45] "Engine< 1366" "Engine>=1366" "Seats=4,7" "Power>=99.41"
## [49] "Fuel_Type=Disl" "Fuel_Type=Ptrl" "Power< 99.41" "Seats=5,8"
## [53] "Engine< 1496" "Engine>=1496" "Engine< 1496" "Engine>=1496"
## [57] "Engine< 1354" "Seats=6" "Seats=4,5,7,8"Los errores que se cometen en cada hoja y el error total del árbol:
printcp(arbolDecision)##
## Classification tree:
## rpart(formula = data[, 15] ~ ., data = data[, c(2:10, 13, 14)],
## method = "class", parms = list(split = "information"), cp = 0.004)
##
## Variables actually used in tree construction:
## [1] Engine Fuel_Type kmpl Power Seats
##
## Root node error: 1353/4711 = 0.2872
##
## n= 4711
##
## CP nsplit rel error xerror xstd
## 1 0.7139690 0 1.000000 1.00000 0.0229528
## 2 0.0177384 1 0.286031 0.28603 0.0139298
## 3 0.0162602 3 0.250554 0.27494 0.0136808
## 4 0.0110865 4 0.234294 0.24908 0.0130737
## 5 0.0096083 6 0.212121 0.21951 0.0123293
## 6 0.0088692 10 0.173688 0.19956 0.0117915
## 7 0.0081301 12 0.155950 0.19586 0.0116884
## 8 0.0066519 13 0.147820 0.18551 0.0113933
## 9 0.0059128 14 0.141168 0.17221 0.0109993
## 10 0.0051737 17 0.123429 0.16482 0.0107727
## 11 0.0048780 18 0.118256 0.15743 0.0105401
## 12 0.0044346 23 0.093865 0.14043 0.0099802
## 13 0.0040000 29 0.064302 0.12712 0.0095146rpart.plot(arbolDecision, uniform=T);
Vamos a comprobar la precisión del árbol con los mismos datos con los que ha sido construido.
predArbolInfo1 = predict(arbolDecision, data[,c(2:10,13,14)])
# Redondeamos la predicción para obtener un resultado 0-1
predArbolInfo1 = round(predArbolInfo1)
tArb1 = table(predArbolInfo1[,1], data[,15])
tArb2 = table(predArbolInfo1[,2], data[,15])
medidaPrecision(tArb2)## [1] 0.9745568Obtenemos una precisión del 97% con los datos de entrenamiento. Ahora, vamos a ver como clasifica nuestro árbol a nuevos coches. Para ello usaremos el conjunto de datos de testing y calcularemos la medida de precisión del resultado.
predArbolInfo2 = predict(arbolDecision,dataTest[,c(2:10,14,15)])
# Redondeamos la predicción para obtener un resultado 0-1
predArbolInfo2 = round(predArbolInfo2)
tArb3 = table(predArbolInfo2[,1], dataTest[,13])
tArb4 = table(predArbolInfo2[,2], dataTest[,13])
#medidaPrecision(tArb3)
medidaPrecision(tArb4)## [1] 0.9553525Con el conjunto de datos de testing se obtiene una precisión del 95%, lo que nos indica que nuestro árbol de decisión realiza buenas predicciones y no sobreajusta el modelo.
Por otro lado, vamos a ver cuál es la precisión que obtenemos utilizando el criterio de Ginni. Construimos un nuevo árbol:
arbolDecisionGini <- rpart(data[,15] ~., data=data[,c(2:10,13,14)], cp=0.004, parms=list(split="gini"))
arbolDecisionGini## n= 4711
##
## node), split, n, loss, yval, (yprob)
## * denotes terminal node
##
## 1) root 4711 1353 Baja-media (0.287200170 0.712799830)
## 2) Engine>=1690 1548 291 Alta (0.812015504 0.187984496)
## 4) Power>=164.2 860 65 Alta (0.924418605 0.075581395)
## 8) Fuel_Type=Diesel 726 31 Alta (0.957300275 0.042699725) *
## 9) Fuel_Type=Petrol 134 34 Alta (0.746268657 0.253731343)
## 18) Power>=180.515 96 9 Alta (0.906250000 0.093750000) *
## 19) Power< 180.515 38 13 Baja-media (0.342105263 0.657894737)
## 38) Power< 177.235 7 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 39) Power>=177.235 31 6 Baja-media (0.193548387 0.806451613) *
## 5) Power< 164.2 688 226 Alta (0.671511628 0.328488372)
## 10) Engine>=2117.5 420 68 Alta (0.838095238 0.161904762)
## 20) Power< 151 379 37 Alta (0.902374670 0.097625330)
## 40) Fuel_Type=Diesel 371 31 Alta (0.916442049 0.083557951)
## 80) Engine< 2498.5 332 17 Alta (0.948795181 0.051204819)
## 160) Power< 137 198 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 161) Power>=137 134 17 Alta (0.873134328 0.126865672)
## 322) Power>=138.555 118 1 Alta (0.991525424 0.008474576) *
## 323) Power< 138.555 16 0 Baja-media (0.000000000 1.000000000) *
## 81) Engine>=2498.5 39 14 Alta (0.641025641 0.358974359)
## 162) Engine>=2511 27 3 Alta (0.888888889 0.111111111) *
## 163) Engine< 2511 12 1 Baja-media (0.083333333 0.916666667) *
## 41) Fuel_Type=Petrol 8 2 Baja-media (0.250000000 0.750000000) *
## 21) Power>=151 41 10 Baja-media (0.243902439 0.756097561) *
## 11) Engine< 2117.5 268 110 Baja-media (0.410447761 0.589552239)
## 22) Engine< 1796.5 22 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 23) Engine>=1796.5 246 88 Baja-media (0.357723577 0.642276423)
## 46) Kilometers_Driven< 41183.5 43 11 Alta (0.744186047 0.255813953) *
## 47) Kilometers_Driven>=41183.5 203 56 Baja-media (0.275862069 0.724137931)
## 94) kmpl< 16.755 137 52 Baja-media (0.379562044 0.620437956)
## 188) kmpl>=14.09 72 26 Alta (0.638888889 0.361111111)
## 376) Power>=134.1 53 10 Alta (0.811320755 0.188679245)
## 752) Power< 147.555 45 2 Alta (0.955555556 0.044444444) *
## 753) Power>=147.555 8 0 Baja-media (0.000000000 1.000000000) *
## 377) Power< 134.1 19 3 Baja-media (0.157894737 0.842105263) *
## 189) kmpl< 14.09 65 6 Baja-media (0.092307692 0.907692308) *
## 95) kmpl>=16.755 66 4 Baja-media (0.060606061 0.939393939) *
## 3) Engine< 1690 3163 96 Baja-media (0.030350933 0.969649067)
## 6) Seats=6 7 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 7) Seats=4,5,7,8 3156 89 Baja-media (0.028200253 0.971799747)
## 14) Power>=132.16 7 2 Alta (0.714285714 0.285714286) *
## 15) Power< 132.16 3149 84 Baja-media (0.026675135 0.973324865)
## 30) Engine>=1353.5 1243 75 Baja-media (0.060337892 0.939662108)
## 60) Engine< 1366 29 0 Alta (1.000000000 0.000000000) *
## 61) Engine>=1366 1214 46 Baja-media (0.037891269 0.962108731) *
## 31) Engine< 1353.5 1906 9 Baja-media (0.004721931 0.995278069) *Vamos a comprobar el error que comete el árbol de decisión y qué aspecto tiene:
labels(arbolDecisionGini, pretty=T)## [1] "root" "Engine>=1690"
## [3] "Power>=164.2" "Fuel_Type=Disl"
## [5] "Fuel_Type=Ptrl" "Power>=180.5"
## [7] "Power< 180.5" "Power< 177.2"
## [9] "Power>=177.2" "Power< 164.2"
## [11] "Engine>=2118" "Power< 151"
## [13] "Fuel_Type=Disl" "Engine< 2498"
## [15] "Power< 137" "Power>=137"
## [17] "Power>=138.6" "Power< 138.6"
## [19] "Engine>=2498" "Engine>=2511"
## [21] "Engine< 2511" "Fuel_Type=Ptrl"
## [23] "Power>=151" "Engine< 2118"
## [25] "Engine< 1796" "Engine>=1796"
## [27] "Kilometers_Driven< 4.118e+04" "Kilometers_Driven>=4.118e+04"
## [29] "kmpl< 16.76" "kmpl>=14.09"
## [31] "Power>=134.1" "Power< 147.6"
## [33] "Power>=147.6" "Power< 134.1"
## [35] "kmpl< 14.09" "kmpl>=16.76"
## [37] "Engine< 1690" "Seats=6"
## [39] "Seats=4,5,7,8" "Power>=132.2"
## [41] "Power< 132.2" "Engine>=1354"
## [43] "Engine< 1366" "Engine>=1366"
## [45] "Engine< 1354"printcp(arbolDecisionGini)##
## Classification tree:
## rpart(formula = data[, 15] ~ ., data = data[, c(2:10, 13, 14)],
## parms = list(split = "gini"), cp = 0.004)
##
## Variables actually used in tree construction:
## [1] Engine Fuel_Type Kilometers_Driven kmpl
## [5] Power Seats
##
## Root node error: 1353/4711 = 0.2872
##
## n= 4711
##
## CP nsplit rel error xerror xstd
## 1 0.7139690 0 1.00000 1.00000 0.0229528
## 2 0.0177384 1 0.28603 0.29268 0.0140761
## 3 0.0162602 3 0.25055 0.27273 0.0136302
## 4 0.0155211 4 0.23429 0.27273 0.0136302
## 5 0.0073910 6 0.20325 0.22764 0.0125399
## 6 0.0072062 9 0.17886 0.17591 0.0111105
## 7 0.0059128 13 0.15004 0.16408 0.0107497
## 8 0.0044346 14 0.14412 0.15004 0.0103011
## 9 0.0040000 22 0.10791 0.13378 0.0097507rpart.plot(arbolDecisionGini, uniform=T)
La precisión que se obtiene con los datos de entrenamiento es la siguiente:
predArbolGini1 = predict(arbolDecisionGini,data[,c(2:10,13,14)])
# Redondeamos la predicción para obtener un resultado 0-1
predArbolGini1 = round(predArbolGini1)
tArb5 = table(predArbolGini1[,1], data[,15])
tArb6 = table(predArbolGini1[,2], data[,15])
medidaPrecision(tArb6)## [1] 0.9587796Se obtiene un accuracy del 95%. Además, con el conjunto de datos de testing se obtiene la siguiente métrica:
predArbolGini2 = predict(arbolDecisionGini, dataTest[,c(2:10,14,15)])
predArbolGini2=round(predArbolGini2)
tArb7 = table(predArbolGini2[,1],dataTest[,13])
tArb8 = table(predArbolGini2[,2],dataTest[,13])
pArb1 = medidaPrecision(tArb7)
pArb2 = medidaPrecision(tArb8)
pArb2## [1] 0.9329822Comprobamos que tanto con el conjunto de entrenamiento como con el conjunto de prueba las precisiones que obtenemos son muy buenas también con Gini, en este caso se obtiene un 93% en test por lo que consideramos buenos árboles de decisión. Distinguiendo entre el árbol de información y el del criterio de Gini, seleccionamos el de información por cometer menos error y ajustarse más a las nuevas entradas que se le proporcionan.
Bosques aleatorios
Un bosque de árboles o bosque aleatorio es un conjunto de árboles de decisión tales que los nodos de cada árbol dependen de los valores de un subconjunto de variables muestreado aleatoriamente. Es decir, para construir cada árbol se escogen un subconjunto del total de las variables explicativas. Cuando tenemos el bosque construido lo que hacemos es “pasar” los nuevos datos por todos los árboles del bosque. Cada árbol clasificará al dato en una clase, y el bosque, finalmente, clasificará al dato en la clase en la que más árboles hayan coincidido.
Una vez que sabemos qué es un bosque aleatorio cabe preguntarse cuál es el número óptimo de árboles que debemos construir y cuántas variables queremos que se seleccionen para cada uno de los árboles. Para descubrir esto, probaremos con distintos valores de cada uno y nos quedaremos con el que mejor medida de precisión nos proporcione.
Durante todo el proceso de análisis se han evaluado cada una de las métricas. Al obtener una precisión del 97% en entrenamiento y 95% en testing en árboles de decisión, se ha hecho constatar que no seleccionaremos como mejor método para predecir el de bosques aleatorios o random forest ya que al obtener esa precisión tan alta, siempre será mejor tener un árbol que un bosque de árboles en cuanto a complejidad y coste. No obstante, se realizan algunos cálculos para estimar cual sería la precisión y las predicciones de este bosque.
set.seed(123)
modelo <- ranger(
formula = as.factor(data[,15]) ~ .,
data = data[,c(2:10,13,14)],
num.trees = 10,
seed = 123
)predicciones <- predict(modelo, data = dataTest[,c(2:10,14,15)])
predicciones## Ranger prediction
##
## Type: Classification
## Sample size: 1173
## Number of independent variables: 11#test_rmse <- sqrt(mean((predicciones - as.factor(data[,13]))^2))
#paste("Error de test (rmse) del modelo (log): ", round(test_rmse,2))Máquinas de vectores de soporte (SVM: Support Vector Machines)
Vamos a aplicar SVM a nuestros datos. Las SVM constituyen un método basado en aprendizaje para la resolución de problemas de clasificación y regresión. En ambos casos, esta resolución se basa en una primera fase de entrenamiento (donde se les informa con múltiples ejemplos ya resueltos, en forma de pares {problema, solución}) y una segunda fase de uso para la resolución de problemas. En ella, las SVM se convierten en una “caja negra” que proporciona una respuesta (salida) a un problema dado (entrada).
svmdata = data[,c(2:10,13,14,15)]Lo primero que hacemos es separar el conjunto de datos en los conjuntos de train y test, estableciendo el 70% de ellos para train y el 30% para test.
ind <- sample(2,nrow(svmdata), replace= TRUE, prob = c(0.7,0.3))
trainSet <- svmdata[ind==2,]
testSet <- svmdata[ind==1,]Realizamos el entrenamiento del modelo. Vamos a probar los distintos kernels para comprobar cual de ellos aprende mejor.
SVM con kernel radial
Suponiendo que una observación del conjunto de datos de test se encuentra alejada de una observación de entrenamiento en términos de distancia euclídea, el kernel radial tiene un comportamiento muy local, en el sentido de que sólo las observaciones de entrenamiento cercanas a una observación de test tendrán efecto sobre su clasificación. Es importante tener en cuenta que una mayor flexibilidad no tiene porque mejorar las predicciones debido a que un modelo muy flexible puede ajustarse demasiado a los datos de entrenamiento.
Primero, entrenamos el modelo:
model <- svm(Gama~., data = trainSet, kernel="radial")
prediccion <- predict(model, newdata= testSet[-12])Ahora, se muestra el resultado mediante la matriz de confusión:
MC <- table(testSet[,12], prediccion)
MC## prediccion
## Alta Baja-media
## Alta 845 96
## Baja-media 139 2222accuracy <- (sum(diag(MC)))/(sum(MC))
accuracy## [1] 0.928831Como se puede observar, el modelo clasifica bien en un 92% de los casos, por lo que las predicciones son realmente buenas.
SVM con kernel lineal
El kernel lineal cuantifica la similitud de un par de observaciones usando la correlación de Pearson. Con un kernel lineal, el clasificador obtenido es equivalente a un support vector classifier. Se entrena y se muestran los resultados a continuación:
model2 <- svm(Gama~., data = trainSet, kernel="linear")
prediccion <- predict(model2, newdata= testSet[-12])
MC <- table(testSet[,12], prediccion)
MC## prediccion
## Alta Baja-media
## Alta 848 93
## Baja-media 140 2221accuracy <- (sum(diag(MC)))/(sum(MC))
accuracy## [1] 0.9294367Se obtiene un accuracy del 92%, por lo que predice con bastante exactitud al igual que el kernel radial.
SVM con kernel sigmoidal
Ahora, con el kernel sigmoidal:
model3 <- svm(Gama~., data = trainSet, kernel="sigmoid")
prediccion <- predict(model3, newdata= testSet[-12])
MC <- table(testSet[,12], prediccion)
MC## prediccion
## Alta Baja-media
## Alta 848 93
## Baja-media 142 2219accuracy <- (sum(diag(MC)))/(sum(MC))
accuracy## [1] 0.928831Se obtiene un accuracy del 92%, por lo que predice con bastante exactitud al igual que el kernel radial y lineal.
SVM con kernel polinomial
El kernel polinómico de grado d (siendo d>1) permite un límite de decisión mucho más flexible. Cuando un support vector classifier se combina con un kernel no lineal, se obtiene un support vector machine. Se entrena el modelo y se muestran los resultados:
model4 <- svm(Gama~., data = trainSet, kernel="polynomial")
prediccion <- predict(model4, newdata= testSet[-12])
MC <- table(testSet[,12], prediccion)
MC## prediccion
## Alta Baja-media
## Alta 322 619
## Baja-media 26 2335accuracy <- (sum(diag(MC)))/(sum(MC))
accuracy## [1] 0.8046638Tanto el kernel radial como el lineal y el sigmoidal obtienen la misma métrica, por lo tanto esos hiperplanos se adaptan correctamente a nuestros datos.
Ajuste de los hiperparámetros del modelo
Muchos modelos, entre ellos los árboles de regresión, contienen parámetros que no pueden aprenderse a partir de los datos de entrenamiento y, por lo tanto, deben de ser establecidos por el analista. A estos se les conoce como hiperparámetros. Los resultados de un modelo pueden depender en gran medida del valor que tomen sus hiperparámetros, sin embargo, no se puede conocer de antemano cuál es el adecuado. Aunque con la práctica, los especialistas en machine learning ganan intuición sobre qué valores pueden funcionar mejor en cada problema, no hay reglas fijas. La forma más común de encontrar los valores óptimos es probando diferentes posibilidades.
Escoger un conjunto de valores para el o los hiperparámetros.
Para cada valor (combinación de valores si hay más de un hiperparámetro), entrenar el modelo y estimar su error mediante un método de validación
Finalmente, ajustar de nuevo el modelo, esta vez con todos los datos de entrenamiento y con los mejores hiperparámetros encontrados.
Regresión logística
El método glm de caret emplea la función glm() del paquete básico de R. Este algoritmo no tiene ningún hiperparámetro pero, para que efectúe una regresión logística, hay que indicar family = “binomial”.
registerDoMC(cores = 4)Se configuran el número de repeticiones y las particiones para cada repetición:
particiones <- 10
repeticiones <- 5Ahora, se ajustan los hiperparámetros:
hiperparametros <- data.frame(parameter = "none")
set.seed(123)
seeds <- vector(mode = "list", length = (particiones * repeticiones) + 1)
for (i in 1:(particiones * repeticiones)) {
seeds[[i]] <- sample.int(1000, nrow(hiperparametros))}
seeds[[(particiones * repeticiones) + 1]] <- sample.int(1000, 1)Y por último, se define el entrenamiento y se ajusta el modelo:
# DEFINICIÓN DEL ENTRENAMIENTO
control_train <- trainControl(method = "repeatedcv", number = particiones,
repeats = repeticiones, seeds = seeds,
returnResamp = "final", verboseIter = FALSE,
allowParallel = TRUE)# AJUSTE DEL MODELO
set.seed(34220)
modelo_logistic <- train(Gama ~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)],
method = "glm",
tuneGrid = hiperparametros,
metric = "Accuracy",
trControl = control_train,
family = "binomial")
modelo_logistic## Generalized Linear Model
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 5 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4239, 4240, 4240, 4239, 4241, ...
## Resampling results:
##
## Accuracy Kappa
## 0.9266427 0.8214096Empleando un modelo de regresión logística se consigue un accuracy promedio de validación del 93%.
k-NN
Ahora aplicamos la busqueda bayesiana para encontrar el mejor número de vecinos para el k-NN.
# Hiperparámetros
hiperparametros <- data.frame(k = c(1, 2, 5, 10, 15, 20, 30, 50))
set.seed(123)
seeds <- vector(mode = "list", length = (particiones * repeticiones) + 1)
for (i in 1:(particiones * repeticiones)) {
seeds[[i]] <- sample.int(1000, nrow(hiperparametros))
}
seeds[[(particiones * repeticiones) + 1]] <- sample.int(1000, 1)# DEFINICIÓN DEL ENTRENAMIENTO
control_train <- trainControl(method = "repeatedcv", number = particiones,
repeats = repeticiones, seeds = seeds,
returnResamp = "final", verboseIter = FALSE,
allowParallel = TRUE)# AJUSTE DEL MODELO
set.seed(34220)
modelo_knn <- train(Gama~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)],
method = "knn",
tuneGrid = hiperparametros,
metric = "Accuracy",
trControl = control_train)
modelo_knn## k-Nearest Neighbors
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 5 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4239, 4240, 4240, 4239, 4241, ...
## Resampling results across tuning parameters:
##
## k Accuracy Kappa
## 1 0.8794749 0.7056852
## 2 0.8680960 0.6771780
## 5 0.8976852 0.7480572
## 10 0.8866888 0.7157664
## 15 0.8693664 0.6631850
## 20 0.8526423 0.6066279
## 30 0.8244122 0.5050079
## 50 0.7812349 0.3321058
##
## Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
## The final value used for the model was k = 5.# REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ggplot(modelo_knn, highlight = TRUE) +
scale_x_continuous(breaks = hiperparametros$k) +
labs(title = "Evolución del accuracy del modelo KNN", x = "K") +
theme_bw()
Con un modelo k-NN con 5 vecinos se consigue un accuracy de validación promedio del 89’7%.
Árboles de decisión
Ahora, vamos a realizar el ajuste de hiperparámetros del árbol de decisión, que ya obtenía muy buenas predicciones.
# Hiperparámetros
hiperparametros <- data.frame(parameter = "none")
set.seed(123)
seeds <- vector(mode = "list", length = (particiones * repeticiones) + 1)
for (i in 1:(particiones * repeticiones)) {
seeds[[i]] <- sample.int(1000, nrow(hiperparametros))
}
seeds[[(particiones * repeticiones) + 1]] <- sample.int(1000, 1)# DEFINICIÓN DEL ENTRENAMIENTO
control_train <- trainControl(method = "repeatedcv", number = particiones,
repeats = repeticiones, seeds = seeds,
returnResamp = "final", verboseIter = FALSE,
allowParallel = TRUE)# AJUSTE DEL MODELO
set.seed(34220)
modelo_C50Tree <- train(Gama~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)],
method = "C5.0Tree",
tuneGrid = hiperparametros,
metric = "Accuracy",
trControl = control_train)
modelo_C50Tree## Single C5.0 Tree
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 5 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4239, 4240, 4240, 4239, 4241, ...
## Resampling results:
##
## Accuracy Kappa
## 0.981405 0.9544161summary(modelo_C50Tree$finalModel)##
## Call:
## C50:::C5.0.default(x = x, y = y, weights = wts)
##
##
## C5.0 [Release 2.07 GPL Edition] Mon Apr 18 11:41:54 2022
## -------------------------------
##
## Class specified by attribute `outcome'
##
## Read 4711 cases (31 attributes) from undefined.data
##
## Decision tree:
##
## Engine <= 1599:
## :...Seats5 <= 0:
## : :...Power <= 99:
## : : :...Seats6 <= 0: Baja-media (128/1)
## : : : Seats6 > 0: Alta (7)
## : : Power > 99:
## : : :...Fuel_TypeDiesel <= 0:
## : : :...Engine <= 1499: Baja-media (13)
## : : : Engine > 1499: Alta (3)
## : : Fuel_TypeDiesel > 0:
## : : :...Seats8 <= 0: Alta (15)
## : : Seats8 > 0: Baja-media (2)
## : Seats5 > 0:
## : :...Engine <= 1343:
## : :...kmpl > 18.33: Baja-media (1346/1)
## : : kmpl <= 18.33:
## : : :...kmpl <= 17.6: Baja-media (344)
## : : kmpl > 17.6:
## : : :...Power <= 77: Baja-media (60)
## : : Power > 77:
## : : :...Power <= 82: Alta (8)
## : : Power > 82: Baja-media (50)
## : Engine > 1343:
## : :...Engine <= 1364: Alta (30)
## : Engine > 1364:
## : :...Engine > 1496: Baja-media (745/4)
## : Engine <= 1496:
## : :...Engine > 1493:
## : :...Engine <= 1495: Baja-media (13)
## : : Engine > 1495: Alta (18)
## : Engine <= 1493:
## : :...Fuel_TypeDiesel <= 0: Baja-media (77/5)
## : Fuel_TypeDiesel > 0:
## : :...Power > 66: Baja-media (276)
## : Power <= 66:
## : :...Power <= 64: Baja-media (24)
## : Power > 64: Alta (4)
## Engine > 1599:
## :...Power > 163.7:
## :...Fuel_TypeDiesel <= 0:
## : :...Power > 180: Alta (96/9)
## : : Power <= 180:
## : : :...Power <= 177.01: Alta (7)
## : : Power > 177.01:
## : : :...Engine <= 1797: Alta (5)
## : : Engine > 1797: Baja-media (26/1)
## : Fuel_TypeDiesel > 0:
## : :...kmpl <= 10.93:
## : :...kmpl <= 10.6: Alta (25)
## : : kmpl > 10.6: Baja-media (10)
## : kmpl > 10.93:
## : :...Engine > 2200: Alta (301)
## : Engine <= 2200:
## : :...Engine > 2149:
## : :...Engine <= 2179: Alta (26)
## : : Engine > 2179: Baja-media (14)
## : Engine <= 2149:
## : :...Power > 167.7: Alta (326/3)
## : Power <= 167.7:
## : :...Power <= 167.62: Alta (20)
## : Power > 167.62: Baja-media (4)
## Power <= 163.7:
## :...Seats8 > 0: Alta (95)
## Seats8 <= 0:
## :...Power > 147.8:
## :...kmpl > 18.7: Alta (7)
## : kmpl <= 18.7:
## : :...kmpl > 12.9:
## : :...Fuel_TypeDiesel <= 0: Baja-media (29)
## : : Fuel_TypeDiesel > 0:
## : : :...Engine <= 1984: Alta (3)
## : : Engine > 1984: Baja-media (26/2)
## : kmpl <= 12.9:
## : :...Engine <= 2092:
## : :...TransmissionManual <= 0: Alta (15/3)
## : : TransmissionManual > 0: Baja-media (2)
## : Engine > 2092:
## : :...Engine <= 2400: Baja-media (17)
## : Engine > 2400:
## : :...Engine <= 2773: Alta (6/1)
## : Engine > 2773: Baja-media (6)
## Power <= 147.8:
## :...Engine <= 1997:
## :...Engine <= 1798: Alta (45/1)
## : Engine > 1798:
## : :...Power <= 139.01:
## : :...Seats5 > 0: Baja-media (81/1)
## : : Seats5 <= 0:
## : : :...Year <= 2014: Baja-media (3)
## : : Year > 2014: Alta (3)
## : Power > 139.01:
## : :...kmpl <= 14.8: Baja-media (10)
## : kmpl > 14.8:
## : :...kmpl <= 16.8: Alta (32)
## : kmpl > 16.8:
## : :...Power <= 142: Baja-media (13)
## : Power > 142: Alta (6)
## Engine > 1997:
## :...Year <= 2011:
## :...Power <= 120.7: Alta (31/1)
## : Power > 120.7:
## : :...kmpl <= 14.49: Baja-media (23/1)
## : kmpl > 14.49: Alta (4)
## Year > 2011:
## :...Power > 138.1: Alta (106)
## Power <= 138.1:
## :...Power > 136: Baja-media (9)
## Power <= 136:
## :...Power > 88.73: Alta (103/1)
## Power <= 88.73:
## :...Power <= 70.02: Alta (9)
## Power > 70.02: Baja-media (4)
##
##
## Evaluation on training data (4711 cases):
##
## Decision Tree
## ----------------
## Size Errors
##
## 57 35( 0.7%) <<
##
##
## (a) (b) <-classified as
## ---- ----
## 1337 16 (a): class Alta
## 19 3339 (b): class Baja-media
##
##
## Attribute usage:
##
## 100.00% Engine
## 68.99% Seats5
## 58.01% kmpl
## 45.38% Power
## 28.27% Fuel_TypeDiesel
## 14.96% Seats8
## 6.26% Year
## 2.87% Seats6
## 0.36% TransmissionManual
##
##
## Time: 0.0 secsEmpleando como modelo un árbol simple C5.0, se consigue un accuracy promedio de validación del 98’1%.
Random Forest
El método ranger de caret emplea la función ranger() del paquete ranger. Este algoritmo tiene 3 hiperparámetros:
mtry: número predictores seleccionados aleatoriamente en cada árbol.
min.node.size: tamaño mínimo que tiene que tener un nodo para poder ser dividido.
splitrule: criterio de división.
Aunque caret también incluye el método rf con la función rf() del paquete randomForest, este último solo permite optimizar el hiperparámetro mtry.
# Hiperparámetros
hiperparametros <- expand.grid(mtry = c(3, 4, 5, 7),
min.node.size = c(2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 30),
splitrule = "gini")
set.seed(123)
seeds <- vector(mode = "list", length = (particiones * repeticiones) + 1)
for (i in 1:(particiones * repeticiones)) {
seeds[[i]] <- sample.int(1000, nrow(hiperparametros))
}
seeds[[(particiones * repeticiones) + 1]] <- sample.int(1000, 1)# DEFINICIÓN DEL ENTRENAMIENTO
control_train <- trainControl(method = "repeatedcv", number = particiones,
repeats = repeticiones, seeds = seeds,
returnResamp = "final", verboseIter = FALSE,
allowParallel = TRUE)# AJUSTE DEL MODELO
set.seed(34220)
modelo_rf <- train(Gama ~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)],
method = "ranger",
tuneGrid = hiperparametros,
metric = "Accuracy",
trControl = control_train,
# Número de árboles ajustados
num.trees = 500)
modelo_rf## Random Forest
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 5 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4239, 4240, 4240, 4239, 4241, ...
## Resampling results across tuning parameters:
##
## mtry min.node.size Accuracy Kappa
## 3 2 0.9507990 0.8806760
## 3 3 0.9509681 0.8810356
## 3 4 0.9509680 0.8810744
## 3 5 0.9509255 0.8810132
## 3 10 0.9499067 0.8785655
## 3 15 0.9486324 0.8754411
## 3 20 0.9471894 0.8719629
## 3 30 0.9449389 0.8663402
## 4 2 0.9646382 0.9138751
## 4 3 0.9637462 0.9117117
## 4 4 0.9634485 0.9109872
## 4 5 0.9633642 0.9108188
## 4 10 0.9611564 0.9054930
## 4 15 0.9588218 0.8998535
## 4 20 0.9565711 0.8945093
## 4 30 0.9516469 0.8825840
## 5 2 0.9750379 0.9390685
## 5 3 0.9743592 0.9374681
## 5 4 0.9741901 0.9370737
## 5 5 0.9736372 0.9357505
## 5 10 0.9719390 0.9316412
## 5 15 0.9698595 0.9266553
## 5 20 0.9668035 0.9192999
## 5 30 0.9612837 0.9060455
## 7 2 0.9835284 0.9597806
## 7 3 0.9829770 0.9584159
## 7 4 0.9830614 0.9586304
## 7 5 0.9826792 0.9577242
## 7 10 0.9816599 0.9552617
## 7 15 0.9796647 0.9504233
## 7 20 0.9780094 0.9464033
## 7 30 0.9733400 0.9349875
##
## Tuning parameter 'splitrule' was held constant at a value of gini
## Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
## The final values used for the model were mtry = 7, splitrule = gini
## and min.node.size = 2.modelo_rf$finalModel## Ranger result
##
## Call:
## ranger::ranger(dependent.variable.name = ".outcome", data = x, mtry = min(param$mtry, ncol(x)), min.node.size = param$min.node.size, splitrule = as.character(param$splitrule), write.forest = TRUE, probability = classProbs, ...)
##
## Type: Classification
## Number of trees: 500
## Sample size: 4711
## Number of independent variables: 30
## Mtry: 7
## Target node size: 2
## Variable importance mode: none
## Splitrule: gini
## OOB prediction error: 1.59 %# REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ggplot(modelo_rf, highlight = TRUE) +
scale_x_continuous(breaks = 1:30) +
labs(title = "Evolución del accuracy del modelo Random Forest") +
guides(color = guide_legend(title = "mtry"),
shape = guide_legend(title = "mtry")) +
theme_bw()
Empleando un modelo random forest con mtry = 7, min.node.size = 2 y splitrule = “gini”, se consigue un accuracy promedio de validación del 98’4%.
SVM
El método svmRadial de caret emplea la función ksvm() del paquete kernlab. Este algoritmo tiene 2 hiperparámetros:
sigma: coeficiente del kernel radial.
C: penalización por violaciones del margen del hiperplano.
Se ajustan los hiperparámetros y se entrena el modelo con kernel radial:
# Hiperparámetros
hiperparametros <- expand.grid(sigma = c(0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1),
C = c(1 , 20, 50, 100, 200, 500, 700))
set.seed(123)
seeds <- vector(mode = "list", length = (particiones * repeticiones) + 1)
for (i in 1:(particiones * repeticiones)) {
seeds[[i]] <- sample.int(1000, nrow(hiperparametros))
}
seeds[[(particiones * repeticiones) + 1]] <- sample.int(1000, 1)# DEFINICIÓN DEL ENTRENAMIENTO
control_train <- trainControl(method = "repeatedcv", number = particiones,
repeats = repeticiones, seeds = seeds,
returnResamp = "final", verboseIter = FALSE,
allowParallel = TRUE)# AJUSTE DEL MODELO
set.seed(342)
modelo_svmrad <- train(Gama ~ ., data = data[,c(2:10,13,14,15)],
method = "svmRadial",
tuneGrid = hiperparametros,
metric = "Accuracy",
trControl = control_train)
modelo_svmrad## Support Vector Machines with Radial Basis Function Kernel
##
## 4711 samples
## 11 predictor
## 2 classes: 'Alta', 'Baja-media'
##
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold, repeated 5 times)
## Summary of sample sizes: 4240, 4240, 4239, 4240, 4240, 4240, ...
## Resampling results across tuning parameters:
##
## sigma C Accuracy Kappa
## 0.001 1 0.9271074 0.8244331
## 0.001 20 0.9269789 0.8236833
## 0.001 50 0.9277433 0.8254514
## 0.001 100 0.9279981 0.8257346
## 0.001 200 0.9292287 0.8283934
## 0.001 500 0.9296964 0.8290602
## 0.001 700 0.9297806 0.8289960
## 0.010 1 0.9296963 0.8298518
## 0.010 20 0.9300766 0.8287067
## 0.010 50 0.9293980 0.8270251
## 0.010 100 0.9294410 0.8270782
## 0.010 200 0.9284219 0.8245447
## 0.010 500 0.9269788 0.8206876
## 0.010 700 0.9271481 0.8208105
## 0.100 1 0.9260447 0.8192948
## 0.100 20 0.9201869 0.8035070
## 0.100 50 0.9173425 0.7958958
## 0.100 100 0.9155593 0.7916444
## 0.100 200 0.9123322 0.7840549
## 0.100 500 0.9063028 0.7695067
## 0.100 700 0.9036705 0.7629402
## 0.500 1 0.9010397 0.7500010
## 0.500 20 0.8968771 0.7400260
## 0.500 50 0.8900000 0.7235634
## 0.500 100 0.8852446 0.7115387
## 0.500 200 0.8838005 0.7079148
## 0.500 500 0.8812541 0.7010558
## 0.500 700 0.8806599 0.6992638
## 1.000 1 0.8944579 0.7267584
## 1.000 20 0.8871119 0.7111117
## 1.000 50 0.8814231 0.6968666
## 1.000 100 0.8800224 0.6931900
## 1.000 200 0.8783665 0.6888309
## 1.000 500 0.8773057 0.6860360
## 1.000 700 0.8773906 0.6861693
##
## Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
## The final values used for the model were sigma = 0.01 and C = 20.modelo_svmrad$finalModel## Support Vector Machine object of class "ksvm"
##
## SV type: C-svc (classification)
## parameter : cost C = 20
##
## Gaussian Radial Basis kernel function.
## Hyperparameter : sigma = 0.01
##
## Number of Support Vectors : 878
##
## Objective Function Value : -13539.15
## Training error : 0.057737# REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ggplot(modelo_svmrad, highlight = TRUE) +
labs(title = "Evolución del accuracy del modelo SVM Radial") +
theme_bw()
Empleando un modelo SVM Radial con sigma = 0.01 y C = 20, se consigue un accuracy promedio de validación del 93%.
Evaluación y comparación de modelos
Para poder determinar si un método es superior a otro, no es suficiente con comparar los mínimos (o máximos dependiendo de la métrica) que ha conseguido cada uno, sino que hay que tener en cuenta sus varianzas para determinar si existen evidencias suficientes de superioridad.
Al tratarse de modelos entrenados y validados sobre los mismos datos, mismas particiones y en el mismo orden (siempre que se haya asegurado la reproducibilidad mediante semillas), se pueden emplear métodos estadísticos para datos dependientes.
modelos <- list(KNN = modelo_knn, logistic = modelo_logistic,
arbol = modelo_C50Tree, rf = modelo_rf,
SVMradial = modelo_svmrad)
resultados_resamples <- resamples(modelos)Se modifica el conjunto de datos para separar el nombre de cada modelo y las distintas métricas en la tabla:
metricas_resamples <- resultados_resamples$values %>%
gather(key = "modelo", value = "valor", -Resample) %>%
separate(col = "modelo", into = c("modelo", "metrica"),
sep = "~", remove = TRUE)metricas_resamples %>%
group_by(modelo, metrica) %>%
summarise(media = mean(valor)) %>%
spread(key = metrica, value = media) %>%
arrange(desc(Accuracy))metricas_resamples %>%
filter(metrica == "Accuracy") %>%
group_by(modelo) %>%
summarise(media = mean(valor)) %>%
ggplot(aes(x = reorder(modelo, media), y = media, label = round(media, 2))) +
geom_segment(aes(x = reorder(modelo, media), y = 0,
xend = modelo, yend = media),
color = "grey50") +
geom_point(size = 7, color = "firebrick") +
geom_text(color = "white", size = 2.5) +
scale_y_continuous(limits = c(0, 1)) +
# Accuracy basal
geom_hline(yintercept = 0.88, linetype = "dashed") +
labs(title = "Validación: Accuracy medio repeated-CV",
subtitle = "Modelos ordenados por media",
x = "modelo") +
coord_flip() +
theme_bw()
metricas_resamples %>% filter(metrica == "Accuracy") %>%
group_by(modelo) %>%
mutate(media = mean(valor)) %>%
ungroup() %>%
ggplot(aes(x = reorder(modelo, media), y = valor, color = modelo)) +
geom_boxplot(alpha = 0.6, outlier.shape = NA) +
geom_jitter(width = 0.1, alpha = 0.6) +
scale_y_continuous(limits = c(0, 1)) +
# Accuracy basal
geom_hline(yintercept = 0.88, linetype = "dashed") +
theme_bw() +
labs(title = "Validación: Accuracy medio repeated-CV",
subtitle = "Modelos ordenados por media") +
coord_flip() +
theme(legend.position = "none")
El modelo random forest consigue el accuracy promedio más alto, seguido muy de cerca por el árbol de decisión y SVM. Para determinar si las diferencias entre ellos son significativas, se recurre a test estadísticos. Como se comentó al principio, teniendo en cuenta las métricas obtenidas por cada uno de ellos, siempre es menos complejo y costoso seleccionar el árbol de decisión por delante de un bosque de árboles.
Test de Friedman para comparar el accuracy de los modelos
matriz_metricas <- metricas_resamples %>% filter(metrica == "Accuracy") %>%
spread(key = modelo, value = valor) %>%
dplyr::select(-Resample, -metrica) %>% as.matrix()
friedman.test(y = matriz_metricas)##
## Friedman rank sum test
##
## data: matriz_metricas
## Friedman chi-squared = 177.79, df = 4, p-value < 2.2e-16Para un nivel de significancia (α = 0.05), el test de Friedman sí encuentra evidencias para rechazar la hipótesis nula de que los clasificadores consiguen la misma precisión, sin embargo, no determina que par o pares son diferentes. Para identificarlos, se recurre a contrastes post HOC.
La función diff() del paquete caret recibe como argumento los resultados de validación de dos o más modelos extraídos con resample() y hace comparaciones por pares aplicando un t-test pareado con correcciones por comparaciones múltiples. Esta función no permite mucha flexibilidad en cuanto a las comparaciones, por lo que, una vez extraídos los datos con resample(), suele ser preferible emplear otras funciones disponibles en R.
# Comparaciones múltiples con un test suma de rangos de Wilcoxon
metricas_accuracy <- metricas_resamples %>% filter(metrica == "Accuracy")
comparaciones <- pairwise.wilcox.test(x = metricas_accuracy$valor,
g = metricas_accuracy$modelo,
paired = TRUE,
p.adjust.method = "holm")
# Se almacenan los p_values en forma de dataframe
comparaciones <- comparaciones$p.value %>%
as.data.frame() %>%
rownames_to_column(var = "modeloA") %>%
gather(key = "modeloB", value = "p_value", -modeloA) %>%
na.omit() %>%
arrange(modeloA)
comparacionesAcorde a las comparaciones por pares, no existen evidencias suficientes para considerar que la capacidad predictiva de los modelos es distinta.
Curva de ROC
Las curvas ROC (Receiver Operating Characteritic curve) permiten evaluar, en problemas de clasificación binaria, cómo varia la proporción de verdaderos positivos (sensibilidad o recall) y la de falsos positivos (1-especificidad) dependiendo del cutoff de probabilidad empleado en las asignaciones. El gráfico resultante es muy útil para identificar el cutoff que consigue un mejor equilibrio sensibilidad-especificidad. Además de esto, la curva ROC, en concreto el área bajo la curva (AUC), puede emplearse como métrica para evaluar modelos. Un modelo que clasifica perfectamente las dos clases tiene un 100% de sensibilidad y especificidad, por lo que el área bajo la curva es de 1. Un modelo que predice por debajo de lo esperado por azar, tiene un AUC menor de 0.5. Una condición necesaria para crear una curva ROC es disponer de la probabilidad de clases en las predicciones.
En caret, se puede sustituir la métrica accuracy empleada por defecto en problemas de clasificación y calcular en su lugar el AUC. Para ello, se tienen que indicar los argumentos summaryFunction = twoClassSummary y classProbs = TRUE en el control de entrenamiento. El segundo argumento es necesario porque el cálculo de la curva ROC requiere las probabilidades predichas para cada clase. Además del área bajo la curva, se calcula la sensibilidad y la especificidad para un cutoff de 0.5.
El paquete pROC contiene múltiples funciones para crear, representar y obtener métricas a partir de curvas ROC. Como argumentos se necesitan únicamente las probabilidades predichas para cada clase y la clase verdadera a la que pertenece cada observación.
# Se obtienen las probabilidades predichas para cada clase
predicciones <- predict(object = modelo_logistic,
newdata = dataTest[,c(2:10,13,14,15)],
type = "prob")
# Cálculo de la curva
curva_roc <- roc(response = dataTest$Gama,
predictor = predicciones$Alta)
# Gráfico de la curva
plot(curva_roc)
# Área bajo la curva AUC
auc(curva_roc)## Area under the curve: 0.9471# Intervalo de confianza de la curva
ci.auc(curva_roc, conf.level = 0.95)## 95% CI: 0.9314-0.9629 (DeLong)Con la regresión logística se consigue un área bajo la curva del 94%.
Ahora, veamos la curva ROC para el modelo k-nn.
# Se obtienen las probabilidades predichas para cada clase
predicciones <- predict(object = modelo_knn,
newdata = dataTest[,c(2:10,13,14,15)],
type = "prob")
# Cálculo de la curva
curva_roc <- roc(response = dataTest$Gama,
predictor = predicciones$Alta)
# Gráfico de la curva
plot(curva_roc)
# Área bajo la curva AUC
auc(curva_roc)## Area under the curve: 0.9184# Intervalo de confianza de la curva
ci.auc(curva_roc, conf.level = 0.95)## 95% CI: 0.8995-0.9372 (DeLong)Ahora, para el modelo de árbol de decisión:
# Se obtienen las probabilidades predichas para cada clase
predicciones <- predict(object = modelo_C50Tree,
newdata = dataTest[,c(2:10,13,14,15)],
type = "prob")
# Cálculo de la curva
curva_roc <- roc(response = dataTest$Gama,
predictor = predicciones$Alta)
# Gráfico de la curva
plot(curva_roc)
# Área bajo la curva AUC
auc(curva_roc)## Area under the curve: 0.9939# Intervalo de confianza de la curva
ci.auc(curva_roc, conf.level = 0.95)## 95% CI: 0.9898-0.998 (DeLong)El área bajo la curva del árbol de decisión es de 99%, por lo que se realiza un buen diagnóstico con este modelo.
GAM
En los modelos GAM se pueden aplicar funciones (lineales o no lineales) a cada uno de los predictores. El paquete gamlss implementa varias funciones smooth que suelen dar buenos resultados.
modelo_gam <- gam(Gama ~ s(Engine) + s(Power) + Transmission,
family=binomial,
data = data)
summary(modelo_gam)##
## Call: gam(formula = Gama ~ s(Engine) + s(Power) + Transmission, family = binomial,
## data = data)
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.9569 -0.2039 0.1593 0.3037 2.5937
##
## (Dispersion Parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null Deviance: 5649.673 on 4710 degrees of freedom
## Residual Deviance: 2071.113 on 4701 degrees of freedom
## AIC: 2091.113
##
## Number of Local Scoring Iterations: NA
##
## Anova for Parametric Effects
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## s(Engine) 1 1089.5 1089.48 1254.821 < 2.2e-16 ***
## s(Power) 1 20.6 20.64 23.772 1.12e-06 ***
## Transmission 1 9.5 9.52 10.962 0.000937 ***
## Residuals 4701 4081.6 0.87
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Anova for Nonparametric Effects
## Npar Df Npar Chisq P(Chi)
## (Intercept)
## s(Engine) 3 351.69 < 2.2e-16 ***
## s(Power) 3 106.37 < 2.2e-16 ***
## Transmission
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Debido a la incorporación de las funciones no lineales (smoothers), hay que ser cauto a la hora de interpretar los coeficientes y los errores mostrados en el summary. Los coeficientes y errores de los predictores con funciones smooth (Engine y Power) contemplan únicamente la parte lineal, ignorando la no lineal. En el caso de los predictores lineales (Transmission) sus errores se estiman asumiendo que los términos con smoother son fijos, y no contemplan la incertidumbre introducida al ajustar cada una de las funciones smooth.
Para conocer la contribución total (lineal y no lineal) de los predictores transformados por funciones smooth se puede emplear la función anova. Esta función calcula el impacto que tiene en el modelo (en términos de grados de libertad totales, AIC y significancia estadística) el eliminar cada uno de los predictores de forma secuencial.
modelo_gam## Call:
## gam(formula = Gama ~ s(Engine) + s(Power) + Transmission, family = binomial,
## data = data)
##
## Degrees of Freedom: 4710 total; 4701 Residual
## Residual Deviance: 2071.113anova(modelo_gam, test= "F")plot(modelo_gam)
AIC(logit3, modelo_gam)El modelo GAM ha conseguido reducir todavía más el valor AIC y la distribución de sus residuos ha mejorado ligeramente.